1996　新潟大学　A前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$が

$a_1=2\text{，}{a}_2=4\text{，}{a}_{n+2}={\displaystyle \frac{{(a_{n+1})}^3}{{(a_n)}^2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定義されている．また，

$b_n={\log }_2{a}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b_{n+2}$を$b_{n+1}$と$b_n$で表せ．

(2)　$b_{n+1}-b_n$を$n$で表せ．

(3)　一般項$a_n$を求めよ．

【２】　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．また，線分$\mathrm{AF}$と$\mathrm{DE}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}$対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とし，さらに$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}m\text{，}n$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$と平行なとき，$m:n$を求めよ．

【３】　直線$l\text{：}y=x+b$が放物線$C\text{：}{y}^2=4x$に接している．また，直線$l$に関して放物線$C$と対称な曲線を$D$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　定数$b$の値を求めよ．

(2)　曲線$D$の方程式を求めよ．

(3)　放物線$C$と曲線$D$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　${\displaystyle \frac{1}{2}}<a<1$である行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$で表される$xy$平面上の$1$次変換を$f$とする．$1$次変換$f$による点$\mathrm{P}$の像を$f(\mathrm{P})$で表すとき，任意の点$\mathrm{P}$に対し，定点$\mathrm{C}(1,1)$の位置ベクトルとベクトル$\overrightarrow{\mathrm{P}f(\mathrm{P})}$との内積はつねに$0$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　行列$A$を$a\text{，}b$で表せ．

(2)　$1$次変換$f$によって直線$y=x$がそれ自身にうつされるとき，行列$A$を$a$で表せ．

(3)　(2)の行列$A$で表される$1$次変換$f$に対して，点$\mathrm{P}(x,y)$が単位円$x^2+y^2=1$上を動くとき，原点$\mathrm{O}$から点$f(\mathrm{P})$までの距離の最大値と最小値を求めよ．

【２】　$\mathrm{AD}⫽\mathrm{BC}$かつ$\mathrm{AD}:\mathrm{BC}=1:2$である台形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{CD}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{F}\text{，}$また対角線$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とする．さらに$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AF}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AP}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{EF}$上にあることを証明し，さらに$\mathrm{EP}:\mathrm{PF}$を求めよ．

【３】　放物線$C\text{：}y=1-x^2$上に$2$点$\mathrm{P}(a,1-a^2)\text{，}\mathrm{Q}(b,1-b^2)$をとる．ただし$a<b$とする．また，点$\mathrm{P}$における$C$の接線$l_{\mathrm{P}}$と点$\mathrm{Q}$における$C$の接線$l_{\mathrm{Q}}$の交点を$\mathrm{R}\text{，}$さらに放物線$C$と接線$l_{\mathrm{P}}$および$l_{\mathrm{Q}}$で囲まれた部分の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　交点$\mathrm{R}$の座標を$a\text{，}b$で表せ．

(2)　面積$S$を$a\text{，}b$で表せ．

(3)　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が条件$S={\displaystyle \frac{1}{12}}$をみたしながら放物線$C$上を動くとき，交点$\mathrm{R}$の描く曲線の方程式を求めよ．

【４】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$二人の対戦は，どちらも勝つ確率が等しく，引き分けの確率は$p$である（$0<p<1$）．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$1$回の対戦で$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．

(2)　勝った場合の勝ち点を$2$点，引き分けた場合の勝ち点を$1$点，負けた場合の勝ち点を$0$点とする．この対戦を$2$回行うときの，$\mathrm{A}$の勝ち点の期待値を求めよ．

(3)　引き分けの場合には再度対戦し，どちらかが勝つか，$n$回（$n$は正の整数）引き分けるまで対戦を繰り返す場合に，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．

【２】　変数$t$の関数$x=x(t)\text{，}y=y(t)$が微分可能で，条件

${\displaystyle \frac{dx}{dt}}=-2x+4\sqrt{2}y\text{，}{\displaystyle \frac{dy}{dt}}=2y$

を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{d}{dt}}(x-py)=q(x-py)$となる定数$p\text{，}q$を求めよ．

(2)　$x(0)=-1\text{，}y(0)=\sqrt{2}$をみたす関数$x(t)\text{，}y(t)$を求めよ．

【３】　$n$本（$n$は$3$以上の整数）のくじの中に当たりくじとはずれくじがあり，そのうちの$2$本がはずれくじである．このくじを$1$本ずつひいていき，はずれくじ$2$本をひいたとき，それまでにひいた当たりくじが$k$本であるとき$X=k$とする．ただし，ひいたくじはもとに戻さない．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$X$の確率分布を求めよ．

(2)　$X$の期待値$E(X)$を求めよ．

【４】　区間$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において関数$f(t)$を$f(t)={\displaystyle \frac{1-\cos t}{t}}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(t)>0$を示せ．

(2)　不等式$1-\cos x\leqq f(t)x$をみたす$x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の範囲を$t$で表せ．

(3)　$t$が区間$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を動くとき，${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|1-\cos x-f(t)x|dx$の最小値を与える$t$の値を求めよ．

【５】　各項が${\displaystyle \frac{q}{2^p}}$（$p$は正の整数，$q$は奇数）の形をした数列$\{a_n\}$が，次のように定義されている．

(ⅰ)　$a_{.1}={\displaystyle \frac{1}{2}}$である．

(ⅱ)　$a_n={\displaystyle \frac{q}{2^p}}$のとき，$q=1$ならば$a_{n+1}={\displaystyle \frac{12p+1}{2^{p+1}}}$であり，$q\ne 1$ならば$a_{n+1}={\displaystyle \frac{q-2}{2^p}}$である．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　分母が$2^k$（$k$は正の整数）である項は何項あるか．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{2^k}}$（$k$は正の整数）は第何項か．

(3)　第$100$項を求めよ．

【６】　座標空間において，点$\mathrm{A}$を$(0,0,2)\text{，}$点$\mathrm{B}$を$(0,0,1)$とし，点$\mathrm{A}$と$xy$平面上の直線$y=b\text{，}z=0$（$b$は$0$でない定数）によって定まる平面を$\pi$とする．そして，平面$\pi$上の$z$座標が$1$でない任意の点$\mathrm{P}$に対し，直線$\mathrm{BP}$と$xy$平面との交点${\mathrm{P}}^{\prime }$を対応させる．また，点$\mathrm{A}$を中心とした半径が$\sqrt{5}$である$\pi$上の円を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　平面$\pi$の方程式を求めよ．

(2)　平面$\pi$上の点$\mathrm{P}(x,y,z)$（ただし$z\ne 1$）に$xy$平面上の点${\mathrm{P}}^{\prime }(u,v,0)$が対応しているとき，$x\text{，}y\text{，}z$を$u\text{，}v$で表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が円$C$上の$z$座標が$1$でないすべての点を動くとき，対応する点${\mathrm{P}}^{\prime }$の描く$xy$平面上の曲線$C^{\prime }$の方程式を求めよ．