1996　信州大学　前期　工学部MathJax

【１】　一辺の長さが$a$の正三角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{R}}_1$の内接円を$C_1\text{，}▵{\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{R}}_1$と円$C_1$の接点を${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{Q}}_2\text{，}{\mathrm{R}}_2$とし，$▵{\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{R}}_2$の内接円を$C_2$とする．これを繰り返し，$▵{\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{R}}_n$の内接円を$C_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とする．

(1)　円$C_n$の半径$r_n$を求めよ．

(2)　円$C_n$の面積を$S_n$とするとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_k={\displaystyle \frac{455}{4096}}\pi a^2$となる$n$を求めよ．

【２】　$a$は定数とする．関数$f(x)=x^3+3x^2-6ax+1$の$-1\leqq x\leqq 1$における最小値を求めよ．

【１】　$2$点$\mathrm{F}(1,0)\text{，}{\mathrm{F}}^{\prime }(-1,0)$を焦点とするだ円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1\text{（}a>b>0\text{）}$上の第$1$象限の部分に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線の足を$\mathrm{Q}$とする．$▵\mathrm{OPQ}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$が$\mathrm{PF}+\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }=2(\mathrm{PO}+\mathrm{PQ})$を満たすとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．ただし$\mathrm{O}$は座標の原点である．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& 2\\ 6& b\end{array}\right)$で表される$1$次変換により，直線$y=cx+d$上のすべての点が点$(4,-2)$に移るとき，定数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の値を求めよ．また，このときだ円$9x^2+y^2=1$はこの$1$次変換によりどのような図形に移るか．

【１】　平面上の点列${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$が

$\{\begin{array}{l}{x}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}_n+{\displaystyle \frac{4}{5}}{y}_n\\ y_{n+1}={\displaystyle \frac{3}{4}}{x}_n+{\displaystyle \frac{1}{5}}{y}_n\end{array}$

を満たし，点${\mathrm{P}}_1$は直線$l:x+y=2$上にあるとする．

(1)　点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots$はすべて直線$l$上にあることを示せ．

(2)　点列${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots$はある定点に限りなく近づくことを示せ．

【２】　$f(x)$は開区間$(0,1)$で定義された関数で，この区間で$f(x)>0\text{，}{f}^{\prime }(x)<0\text{，}{f}^{″}(x)\ne 0$を満たすとする．このとき，曲線$y=f(x)$上の任意の点$\mathrm{P}(x,y)$における接線が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}$座標の原点を$\mathrm{O}$とすると，$\mathrm{OA}+\mathrm{OB}$はつねに一定になるという．

(1)　$\mathrm{OA}+\mathrm{OB}$を$F(x)$とするとき，$F(x)=c$（$c$は定数）の両辺を$x$で微分することにより，微分方程式${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=-\sqrt{{\displaystyle \frac{y}{x}}}$が得られることを示せ．

(2)　(1)の微分方程式の解の中で，$x={\displaystyle \frac{1}{4}}$のとき$y={\displaystyle \frac{1}{4}}$となるものを求めよ．