1996　静岡大学　前期MathJax

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}$$B=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)$が

$BA=\left(\begin{array}{cc}{k}^2& 0\\ 0& k^2\end{array}\right)$$\text{（}k>0\text{）}$

を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　$AB=BA$となることを示せ．

(2)　$a=k\cos t$とおくとき，行列$A$を$k$と$t$を用いて表せ．

【２】　$2$曲線$C_0\text{：}y=x^2\text{，}$$C_2\text{：}y=4x^2-4$がある．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$$(p,4p^2-4)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(q,4q^2-4)$を$C_1$上の異なる$2$点とするとき，直線$\mathrm{PQ}$が$C_0$に接するための必要十分条件を$p\text{，}$$q$が満たす等式で表せ．

(2)　$\mathrm{P}$$(p,4p^2-4)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(q,4q^2-4)\text{，}$$\mathrm{R}$$(r,4r^2-4)$を$C_1$上の異なる$3$点とし，直線$\mathrm{PQ}\text{，}$$\mathrm{PR}$がともに$C_0$の接線であるとする．

(ⅰ)　$q+r$と$qr$を$p$を用いて表せ．

(ⅱ)　直線$\mathrm{QR}$が$C_0$の接線であることを示せ．

【３】　次の関係式で定義される数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$の一般項を求めよ．

(1)　$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}=3a_n+2$

(2)　$b_1=1\text{，}$$b_{n+1}=3b_n+{\displaystyle \frac{2n^2+4n+3}{n^2+n}}$

【４】　関数$f(x)=x^4-12x^2+16x+36$によって定まる曲線を$C\text{：}y=f(x)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の極値とその極値を与える$x$の値を求めよ．

(2)　点$(0,36)$における$C$の接線と$C$とによって囲まれる$2$つの部分の面積は等しいことを示せ．

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}$$B=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)$が

$BA=\left(\begin{array}{cc}{k}^2& 0\\ 0& k^2\end{array}\right)$$\text{（}k>0\text{）}$

を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　平面上のベクトル$\overrightarrow{x}$に対して$\overrightarrow{y}=A\overrightarrow{x}$とおくとき，$\left|\overrightarrow{y}\right|=k\left|\overrightarrow{x}\right|$となることを示せ．

(2)　$AB=BA$となることを示せ．

(3)　$a=k\cos t$とおくとき，行列$A$を$k$と$t$を用いて表せ．

【２】　$2$直線$l_1\text{：}x+2={\displaystyle \frac{y-3}{2}}=-z-4\text{，}$$l_2\text{：}{\displaystyle \frac{x}{4}}={\displaystyle \frac{y+3}{3}}={\displaystyle \frac{-z+7}{5}}$がある．次の問いに答えよ．

(1)　$2$直線$l_1\text{，}$$l_2$はねじれの位置にあることを示せ．

(2)　$2$直線$l_1\text{，}$$l_2$の両方に直交する直線$l_3$の方程式を求めよ．

(3)　$2$直線$l_1\text{，}$$l_2$を含む平面を${\pi }_1\text{，}$$2$直線$l_2\text{，}$$l_3$を含む平面を${\pi }_2$とする．平面${\pi }_1$と平面${\pi }_2$の法線ベクトルで，大きさが$1$のものをそれぞれ求めよ．

(4)　平面${\pi }_1$の方程式を求めよ．

(5)　(3)で求めた$2$つの法線ベクトルのなす角を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x-a{e}^x$によって定まる曲線$y=f(x)$が$x$軸に接するとする．次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸によって囲まれる図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【４】　$a$を$0<a<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし，関数$f(x)$を

$f(x)=\cos 3x$$+(12{\sin }^{2}a-9)\cos x+1$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　区間$0\leqq x\leqq \pi$における$f(x)$の増減を調べよ．

(2)　区間$0\leqq x\leqq \pi$において，方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数は$2$個以下であることを示せ．