1996　静岡大学　後期MathJax

【１】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{BC}$上にそれぞれ点$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$をとり，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|=x\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{BN}}\right|=y$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$を$\overrightarrow{\mathrm{MN}}=u\overrightarrow{a}+v\overrightarrow{b}+w\overrightarrow{c}$の形に$x\text{，}$$y$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$がそれぞれ辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{BC}$上を動くとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{MN}}\right|$を最小にする$x\text{，}$$y$とそのときの$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$の位置を求めよ．

(3)　$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$が(2)で定まる点のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$のなす角を求めよ．

【２】　平面上の点列${\mathrm{A}}_n$$(x_n,y_n)$$\text{（}n=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{）}$が

$x_0=y_0=0\text{，}$$x_{n+1}=x_n+{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$y_{n+1}=y_n+x_n+{\displaystyle \frac{1}{4}}$

で与えられている．次の問いに答えよ．

(1)　すべての$n$について，点${\mathrm{A}}_n$は放物線$C\text{：}y=x^2$の上にあることを数学的帰納法を用いて示せ．

(2)　$x_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　$2$点${\mathrm{A}}_n$と${\mathrm{A}}_{n+1}$における$C$の接線の交点を${\mathrm{B}}_n$とする．${\mathrm{B}}_n$の座標を$x_n\text{，}$$x_{n+1}$を用いて表せ．

(4)　すべての$n$について，点$\mathrm{B}$はある$2$次曲線上にある．その曲線の方程式を求めよ．

【３】　$a>0$とし，$f(x)=\sqrt{ax-2}-1$$(x\geqq {\displaystyle \frac{2}{a}})$とする．次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の逆関数$y=f^{-1}(x)$を求めよ．

(2)　曲線$C\text{：}y=f(x)$と曲線$C_2\text{：}y=f^{-1}(x)$が異なる$2$点で交わるとする．

(ⅰ)　$a$の値の範囲を求めよ．

(ⅱ)　$C_1\text{，}$$C_2$の交点の$x$座標の差が$2$であるとする．このとき，$a$の値および$C_1\text{，}$$C_2$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【４】　整式$g(x)$の次数は$2$以下で，$g(1)\mathrm{=}2$とする．関数$f(x)$は

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}xg(t)\mathit{dt}$

で定義され，

$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(1+h)-f(1-h)}{h}}=6$

を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(1)$の値を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^1}g(x)\mathit{dx}$の値を求めよ．

(3)　$g(x)$のすべての係数が負でない整数のとき，$f(x)$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$次の正方行列$X\text{，}$$Y$が$X\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)\text{，}$$Y\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\text{，}$$XY=O\text{，}$$YX=O$を満たすとき，$X\text{，}$$Y$を求めよ．ただし，$O$は零行列である．

(2)　$A＝\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ -3& 4\end{array}\right)$とし$A\left(\begin{array}{c}2\\ a\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}2\\ a\end{array}\right)\text{，}$$A\left(\begin{array}{c}1\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ b\end{array}\right)$とする．

(ⅰ)　$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(ⅱ)　$2$次の正方行列$B\text{，}$$C$が$B\left(\begin{array}{c}2\\ a\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}2\\ a\end{array}\right)\text{，}$$C\left(\begin{array}{c}1\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ b\end{array}\right)\text{，}$$A=B+C$を満たすとき，$B^n$を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$を$t:(1-t)$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の比を$t$を用いて表せ．ただし，$\mathrm{\angle A}$は直角でないとする．

(2)　三角形$\mathrm{DEF}$の内部の点$\mathrm{G}$を四角形$\mathrm{ADGF}\text{，}$$\mathrm{BEGD}\text{，}$$\mathrm{CFGE}$の面積が等しくなるようにとる．

(ⅰ)　点$\mathrm{G}$は三角形$\mathrm{DEF}$の重心であり，かつ三角形$\mathrm{ABC}$の重心でもあることを示せ．

(ⅱ)　三角形$\mathrm{GDE}$の面積を最小にするときの比$t:(1-t)$を求めよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$$\text{（}-1<x<1\text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)\text{，}$$f^{″}(x)$を求め，$(1-x^2)f^{″}(x)$$-3x{f}^{\prime }(x)$$-f(x)=0$が成り立つことを示せ．

(2)　$(1-x^2)f^{(n+1)}(x)$$-(2n+1)x{f}^{(n)}(x)$$-n^2{f}^{(n-1)}(x)=0$$\text{（}n\geqq 1\text{）}$が成り立つことを$n$に関する数学的帰納法を用いて示せ．ただし，$f^{(0)}(x)=f(x)$とする．

(3)　$f^{(n)}(0)$を求めよ．

【４】　$0<x<\pi$に対して

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|\sin t+\cos x|\mathit{dt}$

とおく．次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$次の正方行列$X\text{，}$$Y$が

$X\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\text{，}$$Y\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\text{，}$$XY=O\text{，}$$YX=O$

を満たし，和$W=X+Y$が$W^2-3W+2E=O$を満たすとき，$X$を求めよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．

(2)　　$2$次の正方行列$B\text{，}$$C$が

$B\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\text{，}$$C\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\text{，}$$BC=C\text{，}$$CB=O$

を満たし，和$A=B+C$が$A^2-3A+2E=O$を満たすとする．

(ⅰ)　$P=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 1\end{array}\right)$とおくとき，$P^{-1}BP\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$を求めよ．

(ⅱ)　$B^n$を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}$$(3,0)$を通り，円${(x+3)}^2+y^2=64$に接する円の中心$\mathrm{P}$のえがく曲線$C$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}$から曲線$C$の接線へ下ろした垂線を$\mathrm{AQ}$$\text{（}\mathrm{Q}$は垂線の足）とするとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

【３】　関数$f(x)$は，その導関数が連続で，すべての$x$について

$f(x)=2e^{-x}-x+{\displaystyle {\int }_0^x}t{f}^{\prime }(x-t)\mathit{dt}$

を満たしているとする．次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の満たす微分方程式を求めよ．

(2)　$z=e^{-x}f(x)$とおくとき，$z$の満たす微分方程式を求めよ．また，$f(x)$を求めよ．

(3)　関数${\displaystyle {\int }_0^x}{t}^{2}f(x-t)\mathit{dt}$を求めよ．

【５】　$1$から$9$までの番号が付いたカードがそれぞれ$2$枚ずつ，合計$18$枚ある．この中からもとに戻すことなく任意にカードを$3$枚とり出して，カードの番号をとり出した順に$X_1\text{，}$$X_2\text{，}$$X_3$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$X_1<X_2$となる事象の確率を求めよ．

(2)　確率変数$Y$を

$Y=\{\begin{array}{ll}1& \text{（}{X}_1\geqq X_2\text{かつ}{X}_1\geqq X_3\text{のとき）}\\ 2& \text{（}{X}_2>X_1\text{かつ}{X}_2\geqq X_3\text{のとき）}\\ 3& \text{（}{X}_3>X_1\text{かつ}{X}_3>X_2\text{のとき）}\end{array}$

とおく．このとき，$Y$が$1\text{，}$$2\text{，}$$3$の値をとる確率$P(Y=1)\text{，}$$P(Y=2)\text{，}$$P(Y=3)$を求めよ．

(3)　$Y$の期待値(平均値)を求めよ．