1996　名古屋大学　前期MathJax

【１】　$\alpha$を正の数とする．$xy$平面において，次の条件ⅰ)とⅱ)をみたす直線$l$が存在するような$\alpha$の範囲を求めよ．

ⅰ)　$l$の$y$切片は$\alpha$である．

ⅱ)　放物線$y=3x^2$と$l$で囲まれる図形の面積は$4$以下である．

【２】　$xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を$1$つの頂点とし，$\angle \mathrm{P}$を直角とする直角$2$等辺$3$角形$▵\mathrm{OPR}$がある．頂点$\mathrm{R}$が曲線$xy=1\text{（}x>0\text{）}$を動くときの頂点$\mathrm{P}$の軌跡を図示せよ．

【３】(a)　$3$人がじゃんけんで，$1\text{，}2\text{，}3$番を決める．ちょうど$n$回目で$3$人の順位が確定する確率$P\left(n\right)$を求めよ．ただし$3$人とも，グー，チョキ，バーを出す確率はすべて${\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．

【３】(b)　正の数からなる数列$\{a_n\}$があって，すべての$n$について，初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和が${(a_n+{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2$に等しいとする．このとき，一般項$a_n$を求めよ．

【１】　数列$\left\{a_n\right\}$があって，すべての$n$について，初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和が${(a_n+{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2$に等しいとする．

1)　$a_n$がすべて正とする．一般項$a_n$を求めよ．

2)　最初の$100$項のうち，$1$つは負で他はすべて正とする．$a_{100}$を求めよ．

【２】　$xyz$空間内で，平面$z=1$上に円${(x-1)}^2+{(y-1)}^2=4\text{，}$平面$z=2$上に直線$x=1$がある．点$\mathrm{A}(0,0,t)\text{，}t>2\text{，}$にある光源が$xy$平面に映すこれらの円と直線の影を，それぞれ$C\text{，}l$とする．

1)　$C$と$l$が相異なる$2$点で交わるような$t$の範囲を求めよ．

2)　$C$と$l$の$2$交点を結ぶ線分の中点を$\mathrm{P}$とする．$t$が1)の範囲を動くときの点$\mathrm{P}$の軌跡を図示せよ．

【３】　自然数$n$と正の数$t$に対して

$f_n(t)={\displaystyle {\int }_1^n}{\displaystyle \frac{1}{x}}|\log {\displaystyle \frac{t}{x}}|dx$

とおく．

1)　各$n$に対して，$1\leqq t\leqq n$における$f_n(t)$の最大値$A_n$と最小値$B_n$を求めよ．

2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }(A_{n+1}-A_n)$を求めよ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$は用いてよい．

【４】(b)　$f_0(x)=1\text{，}$$f_1(x)=1-x\text{，}$$\cdots \text{，}$$f_n(x)=1-x+{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}-{\displaystyle \frac{x^3}{3!}}$$+\cdots +{\displaystyle \frac{{(-1)}^n{x}^n}{n!}}\text{，}$$\cdots$とおく．このとき，次を示せ．

1)　$n\geqq 1$のとき，${f_n}^{\prime }(x)=-f_{n-1}(x)$である．

2)　$x\geqq 0$とするとき，$n$が偶数なら$f_n(x)\geqq e^{-x}\text{，}$奇数なら$f_n(x)\leqq e^{-x}$が成立する．

3)　$n$が奇数のとき，$f_n(x)=0$は$x\geqq 0$の範囲でただ$1$つの解をもつ．