1996　京都大学　後期MathJax

【１】(1)　$\cos 5\theta =f(\cos \theta )$をみたす多項式$f(x)$を求めよ．

(2)　$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{10}}\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{10}}\cos {\displaystyle \frac{7\pi }{10}}\cos {\displaystyle \frac{9\pi }{10}}={\displaystyle \frac{5}{16}}$を示せ．

【２】　$n$は$2$以上の自然数，$p$は素数，$a_0\text{，}{a}_1\text{，}\cdots \text{，}{a}_{n-1}$は整数とし，$n$次式

$f(x)=x^n+p{a}_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +p{a}_i{x}^i+\cdots +p{a}_0$

を考える．

(1)　方程式$f(x)=0$が整数解$\alpha$を持てば，$\alpha$は$p$で割り切れることを示せ．

(2)　$a_0$が$p$で割り切れなければ，方程式$f(x)=0$は整数解をもたないことを示せ．

【３】　平面上に，原点において$60$度で交わる$2$直線$l\text{，}m$がある．この平面上に点${\mathrm{P}}_1$をとり，${\mathrm{P}}_1$と直線$l$について対称な点を${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_1$と直線$m$について対称な点を${\mathrm{P}}_2$と定め，以下同様に点${\mathrm{Q}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}$$\cdots$を定める．

(1)　${\mathrm{P}}_4={\mathrm{P}}_1$となることを示せ．

(2)　点${\mathrm{P}}_1$が単位円周上を動くとき，点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{Q}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{Q}}_3\text{，}$${\mathrm{P}}_4$をこの順に結ぶ折れ線の長さの最大値を求めよ．

【４】　$a$は負でない実数とする．$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq {\displaystyle \frac{x-y}{x+y}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたすすべての正の実数$x\text{，}y$に対し，

$x^3-3a^{2}x{y}^2+2y^3\geqq 0$

が成り立つような$a$の範囲を求めよ．

【５】　$n$を$3$以上の整数とする．円周上の$n$等分点のある点を出発点とし，$n$等分点を一定の方向に次のように進む．各点でコインを投げ，表が出れば次の点に進み，裏が出れば次の点を飛び越してその次の点に進む．

(1)　最初に$1$周まわったとき，出発点を飛び越す確率$p_n$を求めよ．

(2)　$1$周目では出発点を飛び越し，$2$周目に出発点を踏む確率$r_n$を求めよ．

【１】　$n$は自然数とする．

(1)　すべての実数$\theta$に対し

$\cos n\theta =f_n(\cos \theta )\text{，}\sin n\theta =g_n(\cos \theta )\sin \theta$

をみたし，係数がともにすべて整数である$n$次式$f_n(x)$と$n-1$次式$g_n(x)$が存在することを示せ．

(2)　${f_n}^{\prime }(x)=n{g}_n(x)$であることを示せ．

(3)　$p$を$3$以上の素数とするとき，$f_p(x)$の$p-1$次以下の係数はすべて$p$で割り切れることを示せ．

【２】　$m\text{，}n$は自然数で，$m<n$をみたすものとする．$m^n+1\text{，}$$n^m+1$がともに$10$の倍数となる$m\text{，}n$を$1$組与えよ．

【３】　平面上に$60$度で交わる$2$直線$l\text{，}m$がある．この平面上に点${\mathrm{P}}_1$をとり，${\mathrm{P}}_1$と直線$l$について対称な点を${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_1$と直線$m$について対称な点を${\mathrm{P}}_2$と定め，以下同様に点${\mathrm{Q}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}$$\cdots$を定める．

(1)　${\mathrm{P}}_4={\mathrm{P}}_1$となることを示せ．

(2)　点${\mathrm{P}}_1$が$2$直線$l\text{，}m$の交点を中心とし半径$1$の円周上を動くとき，点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}{Q}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{Q}}_3\text{，}$${\mathrm{P}}_4$をこの順に結ぶ折れ線の長さの最大値を求めよ．

【４】　$x\text{，}y$は$x+y>0\text{，}x-y>0$をみたす実数とする．ある$4$面体の隣り合う$2$辺の長さが$\sqrt{x+y}\text{，}$$\sqrt{x-y}$で，残り$4$辺の長さはすべて$1$であるという．このような条件をみたす点$(x,y)$の存在範囲を図示せよ．

【５】　$a$は与えられた実数で，$0<a\leqq 1$をみたすものとする．$xyz$空間内に$1$辺の長さ$2a$の正三角形$▵\mathrm{PQR}$を考える．辺$\mathrm{PQ}$は$xy$平面上にあり，$▵\mathrm{PQR}$を含む平面は$xy$平面と垂直で，さらに点$\mathrm{R}$の$z$座標は正であるとする．

(1)　辺$\mathrm{PQ}$が$xy$平面の単位円の内部（周を含む）を自由に動くとき，$▵\mathrm{PQR}$（内部を含む）が動いてできる立体の体積$V$を求めよ．

(2)　$a$が$0\leqq a\leqq 1$の範囲を動くとき，体積$V$の最大値を求めよ．

【６】　$n$を$3$以上の整数とする．円周上の$n$等分点のある点を出発点とし，$n$等分点を一定の方向に次のように進む．各点でコインを投げ，表が出れば次の点に進み，裏が出れば次の点を飛び越しその次の点に進む．

(1)　最初に$1$周まわったとき，出発点を飛び越す確率$p_n$を求めよ．

(2)　$k$は$2$以上の整数とする．$k-1$周目までは出発点を飛び越し，$k$周目に始めて出発点を踏む確率を$q_{n,k}$とする．このとき$\underset{n\to \infty }{\lim }{q}_{n,k}$を求めよ．