1996　大阪教育大学　後期MathJax

【１】　実数$x\text{，}y$について条件

$P\text{：}|x-1|+|y-1|\leqq 4\text{，}Q\text{：}{x}^2-18x+y^2+6y\leqq -40$

を考える．このとき，

(1)　$P$を満たす点$(x,t)$の範囲を図示せよ．

(2)　$Q$を満たす実数$x$が存在するための実数$y$の範囲を求めよ．

(3)　$P$と$Q$を同時に満たす実数$x$が存在するための実数$y$の条件を求めよ．

【２】　半径$r$の円$C$が曲線$y=x^2$と点$\mathrm{A}(u,u^2)$で接し，点$\mathrm{B}(v,0)$で$x$軸と接している．ただし，$u>0\text{，}v>0$とする．このとき，$r$と$v$を$u$で表せ．

【３】　$f(x)\text{，}g(x)$を実数上で定義された関数とする．このとき，次の主張には誤りがある．その反例を挙げよ．

(1)　$f(f(x))=f(x)$を満たす微分可能関数は$f(x)=x$に限る．

(2)　$f(x)$が微分可能なとき，任意の実数$x_1\text{，}{x}_2\text{（}{x}_1<x_2\text{）}$に対して$f(x_1)<f(x_2)$が成立するための必要十分条件は，$f^{\prime }(x)>0$がすべての実数$x$に対して成立することである．

(3)　合成関数$f(g(x))$が微分可能であるための必要十分条件は，$f(x)$と$g(x)$が微分可能であることである．

(4)　$f(g(x))=g(f(x))$が任意の実数$x$に対して成立するための必要十分条件は，$f(x)=g(x)$が任意の実数に対して成立することである．