1996　岡山大学　A前期MathJax

【１】　$xyx$空間において球面$S$と平面$\alpha$を

$S\text{：}{x}^2-4x+y^2-2y+z^2+2z+3=0$

$\alpha \text{：}2x-y-2z+k^2-2k-1=0$

と定める．

(1)　$S$の中心を通り$\alpha$に垂直な直線の方程式を求めよ．

(2)　球面$S$と平面$\alpha$とが交わってできる円の半径$r$が最大になるような$k$の値とそのときの$r$の値を求めよ．

【２】　関数$f(\theta )$を

$f(\theta )=(1+\cos \theta )\{1+\cos (\theta +{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi \left)\right\}\{1+\cos (\theta +{\displaystyle \frac{4}{3}}\pi \left)\right\}$

と定める．ただし$0\leqq \theta <2\pi$とする．

(1)　$t=\cos \theta$とおくとき$f(\theta )$を$t$で表せ．

(2)　$f(\theta )$の最小値および最大値を求めよ．

【３】　$xy$平面上の点$(1,1)$を通り傾き$a$の直線と$3$つの直線$x=2\text{，}x=-1\text{，}y=0$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V(a)$とする．$V(a)$を最小にする$a$の値を求めよ．

【４】　$xy$平面上の点$(3,1)$を$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$を原点$\mathrm{O}$のまわりに正の向きに$60\mathrm{°}$回転した点を$\mathrm{B}$とする．

(1)　$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{C}$は$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=2\overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたすものとし，点$({\displaystyle \frac{5-\sqrt{3}}{3}},{\displaystyle \frac{5+9\sqrt{3}}{9}})$を$\mathrm{P}$とする．このとき

$\overrightarrow{\mathrm{CP}}={\displaystyle \frac{2}{3}}t\overrightarrow{\mathrm{CO}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}(1-t)\overrightarrow{\mathrm{CA}}$

となる実数$t$を求めよ．

(3)　さらに$\mathrm{CP}$の延長が$\mathrm{OA}$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$で表せ．

(4)　三角形$\mathrm{OAC}$と三角形$\mathrm{OAP}$の面積の比を求めよ．

【１】　$n$を自然数とし，関数

$f_n(x)={\displaystyle \frac{x^{n+1}-1}{x-1}}\text{（}x\ne 1\text{）}$

が$x=1$で連続となるように$f_n(1)$を定める．

(1)　$f_2(2)$の値を求めよ．

(2)　第$2$次導関数${f_n}^{″}(x)$の$x=1$における値${f_n}^{″}(1)$を求めよ．

(3)　$g_n(t)={\displaystyle {\int }_0^t}{f}_n(x)dx$とおくとき${\displaystyle {\int }_0^1}{g}_n(t)dt$の値を求めよ．

【２】　$xyz$空間において$4$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)\text{，}\mathrm{D}(1,1,1)$をとる．

(1)　平面$z=k$と四面体$\mathrm{ABCD}$の辺との$4$つの交点の座標を求めよ．ただし$0<k<1$とする．

(2)　平面$z=k$による四面体$\mathrm{ABCD}$の切り口の面積$S(k)$を$k$を用いて表せ．

(3)　四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

【３】　さいころを投げ次のルールで$xy$平面上におかれた駒を動かす．

　点$(x,y)$に駒があるとき

出た目の数が$1$か$2$か$3$ならば$(x,y-1)$の点に，

出た目の数が$4$か$5$ならば$(x+1,y-1)$の点に，

出た目の数が$6$ならば$(x+1,y)$の点に

駒を移動させる．

　ただし，さいころのそれぞれの目の出る確率は${\displaystyle \frac{1}{6}}$であるとする．

　はじめに点$(0,2)$に駒をおき，さいころを投げるごとに駒を移動させこれを$5$回繰り返す．

(1)　$5$回目に駒が$(3,0)$に到達する確率を求めよ．

(2)　$5$回目に駒がはじめて$x$軸に到達する確率を求めよ．

【４】　$xy$平面上に曲線$C$が媒介変数$\theta$を用いて

$C\text{：}x=f(\theta )={\cos }^3\theta \text{，}y=g(\theta )=-{\sin }^3\theta \text{（}0<\theta <\pi \text{）}$

で与えられている．$C$上の点${\mathrm{P}}_1(f({\theta }_1),g({\theta }_1))$における$C$の接線$l_1$と点${\mathrm{P}}_2(f({\theta }_2),g({\theta }_2))$における$C$の接線$l_2$とが直交しているとする．ただし${\theta }_1<{\theta }_2$とする．

(1)　${\theta }_2$を${\theta }_1$で表せ．

(2)　$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{Q}(X,Y)$とする．${\mathrm{P}}_1$が$C$上を動くとき$X+Y$の最小値を求めよ．