1996　広島大学　後期MathJax

【１】　方程式$A{x}^2+Bxy+C{y}^2=1$の表す図形は，焦点が$x$軸上にある双曲線を原点のまわりに$30\mathrm{°}$回転したものである．定数$A\text{，}B\text{，}C$が満たす条件を求めよ．

【２】　空間内に$4$点$\mathrm{A}(1,1,2)\text{，}\mathrm{B}(-1,0,0)\text{，}\mathrm{C}(2,-1,0)\text{，}\mathrm{D}(0,2,0)$と平面$\alpha :-x-y+z=2$がある．直線$\mathrm{AB}$と$\alpha$との交点を$\mathrm{P}\text{，}$直線$\mathrm{AC}$と$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}\text{，}$直線$\mathrm{AD}$と$\alpha$との交点を$\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$を求めよ．

(2)　四面体$\mathrm{APQR}$の体積を求めよ．

【３】　$2$次関数$f(x)=x^2+ax+b$が次の条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たすように定数$a\text{，}b$を定めよ．

(ⅰ)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(x)\sin xdx=0$

(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(x)\cos xdx=0$

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$0<a<b\text{，}0<t<1$のとき，不等式

$\log (ta+(1-t)b)>t\log a+(1-t)\log b$

が成り立つことを証明せよ．

(2)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，(1)の不等式を利用して

$\log (\cos x)>\tan x\log (\sin x)+(1-tanx)\log (\cos x+\sin x)$

を導け．

(3)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，不等式

${(\cos x)}^{\cos x}>{(\sin x)}^{\sin x}$

が成り立つことを証明せよ．

【１】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．いま，

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=1\text{，}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$

が満たされているとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$は正三角形であることを示せ．

(2)　$t=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$とおくとき，${|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|}^2$を$t$を用いて表せ．また，$t$は$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq t\leqq 1$を満たすことを示せ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$t$を用いて表せ．

(4)　$V$が最大値をとるときの$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを求めよ．

【２】　整数を成分とする行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$A^2$の成分がすべて$5$の倍数であることと，$a+d\text{，}ad-bc$がともに$5$の倍数であることは同値であることを示せ．

(2)　$A$が逆行列$A^{-1}$をもち，しかも$A^{-1}$の成分がすべて整数ならば，$A^2$の成分のうち$5$の倍数でないものがあることを示せ．

【３】　微分方程式

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{{dx}^2}}-2{\displaystyle \frac{dy}{dx}}=x{e}^{-x}$

を考える．ただし$e$は自然対数の底である．

(1)　$y$を上の微分方程式の解としたとき，$z=e^{-2x}{\displaystyle \frac{dy}{dx}}$として，$z$の満たす微分方程式を求めよ．

(2)　$z$を求めよ．

(3)　$y$を求めよ．

【４】　放物線$C:y=a{x}^2+1$と，直線$l:y=mx$が，$1$点$\mathrm{P}$で接しているとして，以下の問いに答えよ．ただし，$a>0\text{，}m>0$とする．

(1)　$a$を$m$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{P}$の座標を$m$を用いて表せ．

(3)　直線$l\text{，}y$軸，$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線，の$3$直線で囲まれた部分を$A$とする．$A$は放物線$C$によって$2$つの部分に分かれるが，そのうち境界に原点を含むほうを$A_1\text{，}$そうでないほうを$A_2$とする．$A_1\text{，}{A}_2$軸のまわりに回転させてできる回転体の体積をそれぞれ$V_1\text{，}{V}_2$とするとき，${\displaystyle \frac{V_2}{V_1}}$の値を求めよ．

【５】　解答欄に記号$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$で答える問題が$5$問あり，各問題とも正解は$3$点である．解答欄には，必ず$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$のどちらかで答えるものとして，以下の問いに答えよ．

(1)　でたらめに記号$\mathrm{A}$と記号$\mathrm{B}$を解答欄に書き込むとき，$3$問以上正解になる確率を求めよ．

(2)　解答欄にでたらめに記号$\mathrm{A}$と記号$\mathrm{B}$を書き込むとき，得点の期待値を求めよ．

(3)　あらかじめ$\mathrm{A}$が正解の問題が$3$問，$\mathrm{B}$が正解の問題が$2$問あることが分かっているとする．記号$\mathrm{A}$と記号$\mathrm{B}$をでたらめに解答欄に書き込むとき，得点の期待値を最大にするには，$\mathrm{A}$を何か所，$\mathrm{B}$を何か所に使えばよいか．また，そのときの得点の期待値を求めよ．