1996　高知大学　前期MathJax

【１】　平面上にある平行四辺形$\mathrm{OABC}$において$\mathrm{OA}=4\text{，}\mathrm{OC}=2\text{，}\angle \mathrm{AOC}=60\mathrm{°}$とする．辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{N}$を取り，$\mathrm{CN}$と対角線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{M}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{CM}:\mathrm{MN}=p:q$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$p\text{，}q\text{，}\overrightarrow{a}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{CN}}$が$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と直交するとき，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【２】　空間内に$2$点$\mathrm{P}(3,2,5)\text{，}\mathrm{Q}(0,1,-1)$および直線$l\text{：}{\displaystyle \frac{3-x}{2}}={\displaystyle \frac{y}{2}}=z$がある．$l$および$\mathrm{Q}$を含む平面を$\alpha$とする．次の問に答えよ．

(1)　$\alpha$の方程式を求めよ．

(2)　$\alpha$と$\mathrm{P}$との距離を求めよ．

(3)　$\alpha$上の点$(x,y,z)$に対し，つねに

$x^2+y^2+z^2-6x-4y-10z+36\geqq 0$

が成り立つことを示せ．

【３】　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots$は漸化式

$a_1=1\text{，}(2n+2)a_n-n{a}_{n+1}=0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められる数列とする．次の問に答えよ．

(1)　この数列の一般項$a_n$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求めよ．

【４】　関数

$f(x)=2x^3-3(a-1)x^2-6ax+2a^2$

について次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$が$2$つの極値をもち，極大値が$0$以上の値となるための$a$の範囲を求めよ．

(2)　(1)の範囲における$a$について，$x=x_0$で$f(x)$が極大値をとるとし$F(a)={\displaystyle {\int }_{x_0}^0}f(x)dx$と定める．このとき，$a$の関数$F(a)$のグラフを描き，$F(a)$の最小値を求めよ．

【２】　$a\text{，}b$は$0$でない定数とし，行列$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 2a& 2b\end{array}\right)$で表される$1$次変換を$f$とする．直線$l_0$の$f$による像が原点$\mathrm{O}$となる．次の問に答えよ．

(1)　$l_0$の方程式を求めよ．

(2)　$l_0$と平行な直線$l$の$f$による像はある$1$点$\mathrm{P}$となることを示せ．また$l$が$l_0$に平行な直線として動くとき，$\mathrm{P}$はどのような図形を描くか．

(3)　直線$m$の$f$による像が$m$自身と一致するならば，$m$は原点$\mathrm{O}$を通ることを示せ．

(4)　(3)の$m$が存在するための$a\text{，}b$の条件を求めよ．また$m$の方程式を求めよ．

【３】　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots$は漸化式

$a_1=4\text{，}(2n+2)a_n-n{a}_{n+1}-3n-6=0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められる数列とする．次の問に答えよ．

(1)　この数列の一般項$a_n$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求めよ．

【４】　方程式

$x^n+x^{n-1}+\cdots +x-n+1=0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

について次の問に答えよ．

(1)　上の方程式は負でない実数解はただ$1$つだけしかもたないことを示せ．また，この解を$s_n$と置くとき，$0\leqq s_n<1$であることを示せ．

(2)　$g_n(x)={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n}{x}^i$と置くと，$0\leqq x\leqq 1$のとき$g_n(x)\geqq g_{n+1}(x)$であることを示せ．

(3)　$s_1<s_2<\cdots <s_n<\cdots <1$であることを示せ．

(4)　$s_n\geqq 1-{\displaystyle \frac{1}{n}}$を確かめることにより，$\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=1$であることを示せ．

【５】　負でない整数$m\text{，}n$に対して

$I(m,n)={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^m{(1-x)}^{n}dx$

と定義する．次の問に答えよ．

(1)　$n\geqq 1$のとき，$I(m,n)$を$I(m+1,n-1)$および$m\text{，}n$を用いて表せ．

(2)　$I(m,n)$を求めよ．

(3)　$\alpha \text{，}\beta$を異なる$2$個の実数とするとき，次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}{(x-\alpha )}^m{(x-\beta )}^{n}dx$

【７】　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots$は漸化式

$a_1=a_2=1\text{，}{a}_{n+2}=a_{n+1}+a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められる数列，$r$は$0<r<{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす定数とする．次の問に答えよ．

(1)　任意の$n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$について$0<a_n<2^n$が成り立つことを示せ．

(2)　$S_n=a_1+a_{2}r+a_3{r}^2+\cdots +a_n{r}^{n-1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，$S_{n+2}-S_{n+1}r-S_n{r}^2=1$が成り立つことを示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$が存在することを示し，その極限値を$r$の式で表せ．

【８】　$f(x)=2x^3-3x^2+1$とし，$g(x)$は導関数$g^{\prime }(x)$をもつ関数で，$x\leqq 0$では$g^{\prime }(x)\leqq 0\text{，}x>0$では$g^{\prime }(x)>0$となるものとする．次の問に答えよ．

(1)　$0\leqq g(0)<1$であれば方程式$f(x)=g(x)$は$x\leqq 1$の範囲では異なる$2$つの解$\alpha \text{，}\beta (-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq \alpha <0<\beta <1)$をもつことを示せ．

(2)　方程式$f(x)=g(x)$がちょうど$2$つの実数解$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha \leqq 0\text{，}1\leqq \beta \text{）}$をもつような関数$g(x)$の例を$1$つ示し，それが与えられた条件をすべて満たしていることを示せ．

【９】　曲線$y=\sin x+a$と$2$直線$x=0\text{，}x=\pi$および$x$軸で囲まれた部分を$x$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を$V(a)$とする．次の問に答えよ．

(1)　$V(a)$を$a$を用いて表せ．

(2)　$V(a)$を最小にする$a$の値と，そのときの$V(a)$の値を求めよ．