1996　名古屋市立大　B日程経済，医学部MathJax

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$で表される$1$次変換を

$f\text{：}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)$

とする．

(1)　曲線$xy=1$上の点を同じ曲線上にうつす$1$次変換$f$に対応する行列$A$をすべて求めよ．

(2)　(1)の変換の中で

$f\text{：}\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

を満たす点$\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$があるような行列$A$をすべて求めよ．

【２】　半径$a$の円に内接し，下底が直径と一致する台形がある．このような台形の中で，面積が最大となるものの上底の長さを求めよ．さらに，その面積を求めよ．

【３】　辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$の比に内分する点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{AC}$を$1-t:t$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．（$0\leqq t\leqq 1\text{，}$ただし$t=0$のとき$\mathrm{E}=\mathrm{A}\text{，}\mathrm{F}=\mathrm{C}\text{，}t=1$のとき$\mathrm{E}=\mathrm{B}\text{，}\mathrm{F}=\mathrm{A}$とする．）$\angle \mathrm{EDF}$を$\theta$とするとき，

(1)　$\cos \theta$を$t$で表せ．

(2)　$\cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　半径$1$の球$A$と半径$r$の半円球$B$がある．図のように球$A$に半円球$B$をかぶせたとき，全体の体積が最大となる$r$を求めよ．ただし$0<r<1$とする．

【５】　長さ$1$の線分$\mathrm{AB}$の端点$\mathrm{A}$は$x$軸の正の部分にあり，もう一方の端点$\mathrm{B}$は直線$y=x$上の$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$の部分におある．線分$\mathrm{AB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，$x$軸の正の方向と線分$\mathrm{AB}$のなす角を$\theta$とする．ただし原点を$\mathrm{O}$とする．

(1)　端点$\mathrm{A}$の$x$座標を$\theta$で表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$で表せ．

(3)　${\mathrm{OP}}^2=a+b\sin (2\theta +\beta )$と表すとき，$a\text{，}b\text{，}\sin \beta \text{，}\cos \beta$の値を求めよ．

(4)　${\mathrm{OP}}^2$ の最大値と最小値を求めよ．

【６】　サイコロを投げるゲームをする．$1$の目がでたら得点を$1$点，$2$または$3$の目がでたら$2$点，その他の目がでたら$0$点とする．$1$点または$2$点をとったときにはつづけてサイコロを投げ，$0$点をとった時点でゲームを終了する．ただしサイコロは最大$3$回までしか投げられないものとする．

(1)　$3$回目に$0$点をとる確率を求めよ．

(2)　合計得点が$2$点でゲームが終了するとき，$3$回目で$0$点をとる条件つき確率を求めよ．

(3)　合計得点の期待値を求めよ．

【１】　長さ$1$の線分$\mathrm{AB}$の端点$\mathrm{A}$は$x$軸の$x\geqq 0$の部分にあり，もう一方の端点$\mathrm{B}$は直線$y=x$上の$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$の部分にある．線分$\mathrm{AB}$を一定の比$m:n\text{（}m>0\text{，}n>0\text{）}$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，$x$軸の正の方向と線分$\mathrm{AB}$のなす角を$\theta$とする．ただし原点を$\mathrm{O}$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を$\theta \text{，}m\text{，}n$を用いて表せ．

(2)　${\mathrm{OP}}^2$の最大値と最小値を$m\text{，}n$を用いて表せ．

【２】　辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$の比に内分する点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{AC}$を$1-t:t$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．（$0\leqq t\leqq 1\text{，}$ただし，$t=0$のとき$\mathrm{E}=\mathrm{A}\text{，}\mathrm{F}=\mathrm{C}\text{，}t=1$のとき$\mathrm{E}=\mathrm{B}\text{，}\mathrm{F}=\mathrm{A}$とする．）$▵\mathrm{DEF}$の面積の最大値と最小値を求めよ．

【３】　自然数$n$に対して関数$f_n(x)\text{，}{F}_n(x)$を次のように定義する：

$f_n(x)=x^n{e}^{-x}\text{，}{F}_n(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{f}_n(t)dt$

(1)　$0\leqq 1$のとき

$0\leqq f_n(x)\leqq {\displaystyle \frac{1}{e}}$

が成り立つことを示せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{F_n(1)}{n!}}=0$を示せ．

(3)　(2)を用いて

$e=1+1+{\displaystyle \frac{1}{2!}}+{\displaystyle \frac{1}{3!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n!}}+\cdots$

を示せ．

【４】　サイコロを投げるゲームをする．$1$の目がでたら得点を$1$点，$2$または$3$の目がでたら$2$点，その他の目がでたら$0$点とする．$1$点または$2$点をとったときにはつづけてサイコロを投げ，$0$点をとった時点でゲームを終了する．

(1)　サイコロを投げる回数が$3$回以下でゲームが終了する確率を求めよ．

(2)　合計得点が$3$点でゲームが終了するとき，$3$回目でゲームが終了する条件つき確率を求めよ．

(3)　合計得点が$n$点でゲームが終了する確率を$u_n$とする．$u_n$を$n$で表せ．