1996　大阪府立大学　C工学部MathJax

【１】　空間における$2$直線

$l_1\text{：}{\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{4-y}{2}}=z-p\text{，}{l}_2\text{：}-x-3={\displaystyle \frac{y-3p}{2}}={\displaystyle \frac{z+5}{2}}$

が交わるとき，次の問いに答えよ．

(1)　定数$p$の値，および$l_1$と$l_2$の交点の座標を求めよ．

(2)　$l_1$と$l_2$を含む平面$\alpha$の方程式$ax+by+cz+d=0$を求めよ．

(3)　平面$\alpha$上で$l_1$と$l_2$がなす角の$2$等分線の方程式を求めよ．

【２】　$4$人の人がいて，その前に$3$つの箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が置かれている．各人は数字$1$の書かれたカード，数字$2$の書かれたカード，数字$3$の書かれたカードを$1$枚ずつ合計$3$枚持っている．$4$人のそれぞれがカードを無作為に選んで，箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$に$1$枚ずつ入れるものとする．箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$に入っているカードの数字の合計を$a\text{，}b\text{，}c$とすいるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a<b<c$となる$a$の値をすべて求めよ．

(2)　$a=7$かつ$a<b<c$となる確率を求めよ．

【３】　$f(x)=x{e}^{-x}$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^{-x}=0$を用いてよい．

(1)　$f(x)$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$p$を正の定数とするとき，$F(x)={\{f(x)\}}^2-pf(x)$の極値を求めよ．ただし，極値をとる$x$の値は求めなくてよい．

(3)　$y=F(x)$のグラフが$x$軸に接するとき，$p$の値と接点の$x$座標$a$を求めよ．

(4)　(3)で求めた$p$と$a$に対して，${\displaystyle {\int }_0^a}F(x)dx$の値を求めよ．

【４】　数列$\{x_n\}$は次の関係式を満たしている．

$x_0=0\text{，}{\displaystyle {\int }_{x_{n-1}}^{x_n}}(1+|\cos t|)dt=n(n+1)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{x_n}}(1+|\cos t|)dt$を$n$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^x}(|\cos t|-c)dt$が周期$\pi$の周期関数となるように定数$c$を定めよ．

(3)　$c$を(2)で定めた定数とする．すべての$x$に対して，

$|{\displaystyle {\int }_0^x}|\cos t|-c)dt|\leqq (1+\left|c\right|)\pi$

が成立することを示せ．

(4)　(2)で定めた$c$に対して，$a_n={\displaystyle {\int }_0^{x_n}}(|\cos t|-c)dt$とおくとき，一般項$x_n$を$a_n$と$n$を用いて表せ．

(5)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x_n}{n^2}}$を求めよ．