1996　上智大学　経営MathJax

【１】　$3$次方程式

$x^3+(2a-1)x^2-3(a-2)x+a-6=0$

は，$a$がどんな値でも$x=\boxed{\text{ア}}$を解とする．この方程式がちょうど$2$つの異なる解をもつような$a$の値は全部で$\boxed{\text{イ}}$個である．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)\text{（}b>0\text{）}$とし，$E$を単位行列とする．

(1)　$A^3=E$ならば$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\text{，}b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$である．

(2)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}b={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$のとき，$A^{1996}=\left(\begin{array}{cc}c& d\\ e& f\end{array}\right)$とおけば，$c={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\text{，}e={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$である．

【３】　空間に$4$点$\mathrm{A}(3\sqrt{3},-3,0)\text{，}\mathrm{B}(0,6,0)\text{，}\mathrm{C}(-3\sqrt{3},-3,0)\text{，}\mathrm{D}(0,0,15)$がある．

(1)　$\mathrm{H}(0,0,\boxed{\text{ス}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}})\text{（}\boxed{\text{ス}}>0\text{）}$を$z$軸上の点とすると，$\mathrm{AH}=\mathrm{AB}$である．

(2)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を含む平面の方程式は

$\boxed{\text{ソ}}x+\boxed{\text{タ}}y+\boxed{\text{チ}}z-15=0$

である．

(3)　平面$\alpha :\sqrt{3}x+y-2z+18=0$と直線$\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{BD}\text{，}\mathrm{CD}$との交点を，それぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とすれば，$\mathrm{P}$の座標は$(\sqrt{\boxed{\text{ツ}}},\boxed{\text{テ}},\boxed{\text{ト}})\text{，}$線分$\mathrm{PQ}$の長さは$\boxed{\text{ナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}\text{，}$三角形$\mathrm{PQR}$の面積は$\boxed{\text{ヌ}}\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}$である．

【４】　平面上の点$(1,{\displaystyle \frac{5}{4}})$を通り，傾きが$t$である直線と放物線$y=x^2$との交点を$\mathrm{A}(x_1,y_1)\text{，}\mathrm{B}(x_2,x_2)$とする．

(1)　$x_1+x_2=\boxed{\text{ノ}}t+\boxed{\text{ハ}}\text{，}{x}_1{x}_2=\boxed{\text{ヒ}}t+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$である．

(2)　線分$\mathrm{AB}$の長さを$l$とすると，

$l^2=\boxed{\text{ホ}}{t}^4+\boxed{\text{マ}}{t}^3+\boxed{\text{ミ}}{t}^2+\boxed{\text{ム}}t+\boxed{\text{メ}}$

である．したがって，$l$は$t=\boxed{\text{モ}}$のとき最小値をとる．

(3)　この直線と放物線$y=x^2$が囲む部分の面積を$S$とすると，

$S^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}}{(t^2+\boxed{\text{ヨ}}t+\boxed{\text{ラ}})}^3$

である．