1997　大学入試センター試験　本試験　数学II・数学IIBMathJax

【１】

〔１〕　$0°\leqq \theta <360°$のとき

$y=2\sin \theta \cos \theta -2\sin \theta -2\cos \theta -3$

とする．$x=\sin \theta +\cos \theta$とおくと，$y$は$x$の関数

$y=x^{\boxed{\text{ア}}}-\boxed{\text{イ}}x-\boxed{\text{ウ}}$

となる．

$x=\sqrt{\boxed{\text{エ}}}\sin (\theta +\boxed{\text{オカ}}°)$

であるから，$x$の値の範囲は

$-\sqrt{\boxed{\text{キ}}}\leqq x\leqq \sqrt{\boxed{\text{ク}}}$

である．したがって，$y$は$\theta =\boxed{\text{ケコサ}}°$のとき最大値

$\boxed{\text{シ}}(\sqrt{\boxed{\text{ス}}}-\boxed{\text{セ}})$

をとる．また，$y$の最小値は$\boxed{\text{ソタ}}$である．

【１】

〔２〕　$x$の関数${\log }_2(x^2+\sqrt{2})$は$x=\boxed{\text{チ}}$のとき，最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$をとる．

　$a$を定数とするとき，$x$の方程式

${\{{\log }_2(x^2+\sqrt{2})\}}^2-2{\log }_2(x^2+\sqrt{2})+a=0$$\cdots \text{①}$

が解をもつ条件は$a\leqq \boxed{\text{ト}}$である．$a=\boxed{\text{ト}}$のとき方程式$\text{①}$は$\boxed{\text{ナ}}$個の解をもち，また方程式$\text{①}$が$3$個の解をもつのは

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$

のときである．

【２】　$a$を実数とし，放物線

$C:y=x^2+2ax+3a^2+3a+12$

を考える．

(1)　$a$が動くとき，放物線$C$の頂点の軌跡は放物線

$y=\boxed{\text{ア}}{x}^2-\boxed{\text{イ}}x+\boxed{\text{ウエ}}$

となる．

(2)　放物線$C$がもう一つの放物線$y=-x^2-10x$と$2$点で交わる条件は

$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}<a<\boxed{\text{キ}}$

である．

　この二つの放物線が$1$点を共有し，その点における接線が一致するとき，$a$の値は

$a=\boxed{\text{ク}}$または$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$

である．$a=\boxed{\text{ク}}$のとき，共通の接線の方程式は

$y=-\boxed{\text{サ}}x+\boxed{\text{シ}}$

である．

(3)　$a=0$のときの放物線$C:y=x^2+12$と放物線$y=-x^2-10x$の交点の$x$座標は$x=\boxed{\text{スセ}}，$$\boxed{\text{ソタ}}$であり，この二つの放物線で囲まれた部分の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$

である．

【３】　$f(x)=2x^2$とする．

(1)　$y\geqq f(x)$であるときの$k=2x+3y$の最小値を求めよう．放物線$f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線の傾きは$\boxed{\text{アイ}}$である．

　傾きが$-{\displaystyle \frac{2}{3}}$の接線の方程式は

$y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エオ}}}}$

である．したがって，$x=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}，$$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケコ}}}}$のとき，$k$は最小値

$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$

をとる．

(2)　次に，放物線$y=f(x)$上の点と定点$\mathrm{P}(16,{\displaystyle \frac{25}{4}})$との距離の最小値を求めよう．この放物線上の点を$\mathrm{A}(a,f(a))$とするとき，$\mathrm{A}$における放物線の接線と線分$\mathrm{AP}$が垂直になるための必要十分条件は

$a^{\mathrm{ス}}-\boxed{\text{セ}}a-\boxed{\text{ソ}}=0$

である．左辺は

$a^{\mathrm{ス}}-\boxed{\text{セ}}a-\boxed{\text{ソ}}$$=(a-\boxed{\text{タ}}){(a+\boxed{\text{チ}})}^{\boxed{\text{ツ}}}$

と変形することができる．

　求める距離の最小値は

${\displaystyle \frac{7}{4}}\sqrt{\boxed{\text{テト}}}$

である．

【４】　$a$が不等式$0<a<{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たすとき，放物線

$y=a{x}^2+2-12a\cdots \text{①}$

を考える．この放物線は$a$の値に関係なくて定点

$(\pm \boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}},\boxed{\text{ウ}})$

を通る．放物線$\text{①}$と円

$x^2+y^2=16\cdots \text{②}$

の交点の$y$座標は$\boxed{\text{エ}}$である．

　そして，$a={\displaystyle \frac{1}{4}}$のとき，放物線$\text{①}$と円$\text{②}$で囲まれる部分のうち放物線の上側にある部分の面積は

$\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\pi$

である．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{S}\text{，}$辺$\mathrm{CA}$の中点を$\mathrm{T}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{V}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{W}$とする．

(1)　

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}={\displaystyle -\frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}}$

である．

(2)　

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{ST}}={\displaystyle -\frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}{\mathrm{AB}}^2+\frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}{\mathrm{OC}}^2}$

である．

(3)　$\mathrm{AB}=5，$$\mathrm{BC}=7，$$\mathrm{CA}=8，$$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{ST}}=6，$$\overrightarrow{\mathrm{ST}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{VW}}=8，$$\overrightarrow{\mathrm{VW}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=9$のとき

$\mathrm{OC}=\boxed{\text{サ}}\text{，}$$\cos \angle \mathrm{AOB}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シス}}}{\boxed{\text{セソ}}}}$

である．

【４】　複素数平面上で$\alpha =1+i，$$\beta =4+5i$の表す点を，それぞれ$\mathrm{A}，$$\mathrm{B}$とする．

(1)　このとき，$\beta -\alpha$の絶対値は$\boxed{\text{ア}}$である．$\beta -\alpha$の表す点を原点$\mathrm{O}$を中心に$90°$回転すると，その点を表す複素数は

$-\boxed{\text{イ}}+\boxed{\text{ウ}}i$

である．

(2)　線分$\mathrm{AB}$の中点を表す複素数は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}+\boxed{\text{カ}}i$

である．

(3)　複素数$\gamma =x+2i$（ただし，$x$は実数）の表す点を$\mathrm{P}$とする．このとき

${\displaystyle \frac{\beta -\gamma }{\alpha -\gamma }}$$={\displaystyle \frac{(x^2-\boxed{\text{キ}}x+\boxed{\text{ク}})+(\boxed{\text{ケ}}-\boxed{\text{コ}}x)i}{x^2-\boxed{\text{サ}}x+\boxed{\text{シ}}}}$

となる．

　$\mathrm{P}$が$\mathrm{AB}$を直径とする円周上にあるのは

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}\pm \sqrt{\boxed{\text{セソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}$

のときである．

【５】　白，黄，赤，青の$4$色のカードが$10$枚ずつ合計$40$枚あり，各色のカードにそれぞれ$1$から$10$までの整数が一つずつ書いてある．

　これからカード$1$枚を抜き取る試行の結果に対して，確率変数$X$と$Y$の値を次のように定義する．

　抜き取ったカードが白いカードの場合は$X=1$，黄色いカードの場合は$X=2\text{，}$赤いカードの場合は$X=3\text{，}$青いカードの場合は$X=0$とする．

　抜き取ったカードに書かれた数が$n$の場合，色に関係なく，$Y=n$とする．

　確率は$P$，平均は$E$，分散は$V$で表す．このとき

(1)　

$P(XY=6)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}}$，$P(X+Y>4)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

である．

(2)　

$E(X)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$，$V(X)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$

である．

(3)　

$E(X+Y)=\boxed{\text{コ}}$

である．

【６】　次のプログラムを実行すると数の入力を$2$回求めてくる．このとき，二つの正の整数を入力して実行するとして，下の問いに答えよ．

• 100 INPUT "a =";A
• 110 INPUT "b =";B
• 120 Q = INT(A/B)
• 130 R = A - Q*B
• 140 PRINT Q
• 150 IF R = 0 THEN GOTO 190
• 160 A = B
• 170 B = R
• 180 GOTO 120
• 190 PRINT B
• 200 END

(1)　a = ? に対し$12\text{，}$b = ?に対し$4$を入力したとき，画面に数を新たに$\boxed{\text{ア}}$個表示して停止する．表示される最初の数は$\boxed{\text{イ}}$，次の数は$\boxed{\text{ウ}}$である．

(2)　a = ? に対し$548$，b = ? に対し$141$を入力したとき，行$120$を$\boxed{\text{エ}}$回実行してから停止する．

　表示される最初の数は$\boxed{\text{オ}}$，次の数は$\boxed{\text{カ}}$，三番目の数は$\boxed{\text{キ}}$である．

(3)　a = ? に対しある数$k$，b = ? に対し$100$を入力したところ，表示された最初の$3$個の数は順に$2，4，2$であった．このとき，$k=\boxed{\text{クケコ}}$である．

【１】〔１〕　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．線分$\mathrm{BN}$と線分$\mathrm{CM}$の交点を$\mathrm{E}$とする．このとき

$\overrightarrow{\mathrm{AE}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AM}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AN}}$

である．

　線分$\mathrm{AE}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{Q}$とするとき

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AM}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\overrightarrow{\mathrm{AN}}$

である．

　直線$\mathrm{AM}$上に点$\mathrm{G}\text{，}$直線$\mathrm{AN}$上に点$\mathrm{H}$をとり，線分$\mathrm{GH}$の中点を$\mathrm{R}$とする．そして，

$\overrightarrow{\mathrm{AG}}=x\overrightarrow{\mathrm{AM}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=y\overrightarrow{\mathrm{AN}}$

とするとき，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$が一直線上にあれば

$y=\boxed{\text{ケ}}x-1$

である．

【１】〔２〕　四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}=2:3\text{，}$$\mathrm{AD}=\mathrm{DC}$とし，さらに$\angle \mathrm{ABC}=60\mathrm{°}$とする．

(1)　線分$\mathrm{BD}$が$\angle \mathrm{ABC}$を二等分するとき

$\overrightarrow{\mathrm{BD}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\overrightarrow{\mathrm{BA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

である．

(2)　$\mathrm{BD}$と$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{E}$が$\mathrm{BE}:\mathrm{ED}=2:1$を満たすとき

$\overrightarrow{\mathrm{BD}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タチ}}}}\overrightarrow{\mathrm{BA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

である．

【２】〔１〕　初項$a\text{，}$公比$r$の等比数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．

(1)　$S_4=45\text{，}$$S_8=65$のとき

$r=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ア}}}}{\boxed{\text{イ}}}}$

である．

(2)　$S_{10}=21\text{，}$$S_{15}=37$となるとき，$S_5$は$\boxed{\text{ウ}}$または$\boxed{\text{エオ}}$に等しい．

【２】〔２〕

$f(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-2x$

とする．

　曲線$C_1:y=f(x)$とその曲線上にない点$\mathrm{P}(a,b)\text{（}a<0\text{）}$が与えられている．曲線上の点$\mathrm{Q}(c,f(c))$と$\mathrm{P}$を結ぶ線分の中点$\mathrm{R}$の座標は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}+\boxed{\text{キ}}}{2}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}+f(c)}{2}})$

である．したがって，点$\mathrm{Q}$が曲線$C_1$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の描く曲線を$C_2:y=g(x)$とすれば

$g(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}{x}^3-\boxed{\text{サ}}a{x}^2$$+(a^{\boxed{\text{シ}}}-2)x+a-{\displaystyle \frac{a^3}{6}}+{\displaystyle \frac{b}{6}}$

である．

　曲線$C_1$と曲線$C_2$が$2$点だけを共有するならば，$3$次方程式

$g(x)-f(x)=0$

が二つの実数解をもたなくてはならないから，

$b={\displaystyle \frac{a^3}{\boxed{\text{スセ}}}}-2a$

となり，その実数解は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}a}{\boxed{\text{タ}}}}$と${\displaystyle \frac{a}{\boxed{\text{チ}}}}$

である．

　このとき，$2$曲線$C_1\text{，}$$C_2$によって囲まれた部分の面積は

${\displaystyle \frac{a^{\boxed{\text{ツ}}}}{\boxed{\text{テト}}}}$

である．

【３】　一辺の長さが$2$の正方形$\mathrm{ABCD}$の各辺の中点を図のように$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$とし，線分$\mathrm{EG}$と線分$\mathrm{FH}$の交点を$\mathrm{I}$とする．

　以下，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{I}$を分岐点とよび，二つの分岐点を結ぶ長さ$1$の線分を辺とよぶ．

　動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$を始点とし，$1$秒間に辺を一つずつ移動してできる経路の全体を考える．ただし，以前に通った辺を再び通ることはできるが，各分岐点で直ちに後戻りはできないものとする．

(1)　$\mathrm{A}$を始点とする長さ$4$の経路を考える．たとえば，終点が$\mathrm{A}$である経路は全部で$2$本ある．

　終点が$\mathrm{B}$である経路は全部で$\boxed{\text{ア}}$本ある．

　終点が$\mathrm{C}$である経路は全部で$\boxed{\text{イ}}$本ある．

　終点が$\mathrm{I}$である経路は全部で$\boxed{\text{ウ}}$本ある．

　長さ$4$の経路の総数は$\boxed{\text{エオ}}$本である．

(2)　動点$\mathrm{P}$は始点$\mathrm{A}$を時刻$0$に出発する．ただし，各分岐点で動ける方向がいくつかある場合は，どの方向に進むかは等しい確率で決まるものとする．

　$4$秒後に$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$に戻る確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キク}}}}$である．

　$4$秒後に$\mathrm{P}$が$\mathrm{C}$に到達する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コサ}}}}$である．

　$4$秒後に$\mathrm{P}$が$\mathrm{I}$に到達する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$である．

　$4$秒後に$\mathrm{P}$が$\mathrm{I}$を通り，その$4$秒後に$\mathrm{A}$に戻る確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}$である．

　$4$秒後に$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$または$\mathrm{C}$を通り，その$4$秒後に$\mathrm{A}$に戻る確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テト}}}}$である．

　出発してから$8$秒後に$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にいる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナニ}}}{\boxed{\text{ヌネ}}}}$である．