1997　筑波大学　前期MathJax

【１】　関数

$f(x)=\sin x+\cos x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

について以下のことを証明せよ．

(1)　方程式$f(x)=x$は，ただ$1$つの解をもつ．

(2)　方程式$f(x)=x$の解を$x_0$とするとき

$1<x_0<\sqrt{2}$

が成立する．

(3)　$s\text{，}t$が$1\leqq s<t\leqq \sqrt{2}$を満たすとき

$|f(s)-f(t)|\leqq |f^{\prime }(\sqrt{2})||s-t|$

が成立する．

(4)　$a$が$0\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすとき，

$a_1=a\text{，}{a}_{n+1}=f(a_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で数列$\{a_n\}$を定めると，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=x_0$が成立する．

【２】　関数

$f(x)=\sqrt{e^x-1}\text{（}x>0\text{）}$

について，以下の問に答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$上を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$における接線の傾きが最小になるときの点$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$上の異なる$2$点$\mathrm{A}(a,f(a))\text{，}\mathrm{B}(b,f(b))$における接線が平行であるとき，$b$を$a$の式で表せ．

(3)　(2)において$b=a+1$とするとき，$a$の値を求めよ．

【３】　右の断面図のように，水平な平面上に半径$a\text{（}a<1\text{）}$の半球が，おわんを伏せた形で置かれている．半球の中心$\mathrm{O}$から真上に$1$だけ離れた点$\mathrm{P}$にある点光源で半球を照らすとき，光の当たらない陰の部分（ただし，半球の外部で，平面より上）の体積を求めよ．

【４】　$2$次正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$と$B=\left(\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right)$が条件

(＊)　$AB=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}(a,b)\ne (0,0)$

を満たしている．

(1)　$h(ad-bc)=a$を示せ．

(2)　$A$の逆行列が存在することと，$B$の逆行列が存在しないことを証明せよ．

(3)　$h=0$とするとき，条件(＊)を満たす$A\text{，}B$の例を具体的な数値を成分に用いて$1$組求めよ．

【５】　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周$C$が$xy$平面上にある．この平面上の点$\mathrm{P}\text{（}\mathrm{P}\ne \mathrm{O}\text{）}$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}\text{，}$直線$\mathrm{OP}$と$C$との交点のうち，$\mathrm{P}$に近い方の点を$\mathrm{R}$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$の極座標を$(r,\theta )$として，線分$\mathrm{PQ}\text{，}\mathrm{PR}$の長さを，$r\text{，}\theta$を用いて表せ．

(2)　$2$線分$\mathrm{PQ}\text{，}\mathrm{PR}$の長さが等しくなる点$\mathrm{P}$の軌跡$D$の極方程式を求めよ．

(3)　$xy$座標に関する$D$の方程式を求めよ．

【６】　$a\text{，}b$を$a<b$なる実数とし，次の定積分

$S={\displaystyle {\int }_a^b}f(x)dx$

を近似的に計算することを考える．

(1)　区間$a\leqq x\leqq b$を$n$等分して$S$を近似する台形公式を導け（図などを使って具体的に公式を作り出し，その過程を記せ）．

(2)　以下は，$f(x)={\displaystyle \frac{1}{(1+x^2)}}$の場合に，上で求めた公式を使って$S$の近似値を求めるプログラムである．ただし，$a=1.0\text{，}b=2.0\text{，}n=10$としている．空白行150〜180を補ってプログラムを完成せよ．（注：DEFは，関数を定義する命令である．）

【７】　ある町から$16$世帯を無作為に選んで所得を調べたところ，度数分布表は以下のようになった．

(1)　所得の平均値，中央値，標準偏差および範囲を求めよ．

(2)　上の表で所得$1000$万円の世帯の所得が，実は$1000$万円でなく$9000$万円であったとする．このとき，平均値，中央値，標準偏差および範囲を求めよ．

(3)　(1)，(2)をもとに，平均値と中央値のどちらがどのような場合に資料の代表値として適切であるかを$150$字以内で述べよ．

【８】　$xyz$空間において，原点$\mathrm{<mspace\; width=".2em"></mspace>O}$および$3$点$\mathrm{P}(a,0,0)\text{，}\mathrm{Q}(0,a,0)\text{，}\mathrm{R}(0,0,a)$を頂点とする四面体を$V$とする．ただし，$a>0$とする．平面$x+y-z=-t$による$V$の切り口の面積を$S(t)$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)　$S(t)$を求めよ．

(2)　$S(t)$の最大値を求めよ．

志望別問題選択一覧

第一学群

　社会学類　【１】〜【３】から２題選択

　自然学類　【１】〜【３】必須，【４】〜【８】から２題選択

第二学群

　人間学類　数学III選択　【１】〜【３】から２題選択

　人間学類　数学C・他教科選択　【４】〜【８】から２題選択

　生物学類，生物資源学類,社会工学類　【１】〜【３】必須，【４】〜【８】から２題選択

第三学群

　国際総合学類　数学III選択【１】〜【３】から２題選択

　国際総合学類　数学C・他教科選択【４】〜【８】から２題選択

　情報学類　【１】〜【３】必須，【４】〜【８】から２題選択

　工学システム学類，基礎工学類　【２】，【３】必須，【４】〜【８】から１題選択

医学専門学群

　【１】〜【３】必須，【４】〜【８】から２題選択