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1997-10267-0101
1997 東京工業大学 前期
配点60点
易□ 並□ 難□
【1】 a2⁢ x2+ b2⁢ y2≦ 1 をみたす (x ,y) がすべて
a⁢( x-1) +b⁢( y-1) ≦0
をみたすような (a ,b) の範囲を求め,図示せよ.
1997-10267-0102
【2】(1) 極限値 lim n→∞ ⁡ ∑k =n2 ⁢n ⁡ 1k を求めよ.
(2) 任意の正数 a に対して
limn→ ∞⁡ ∑ k=n 2⁢n ⁡ 1 a+k
は(1)と同じ極限値をもつことを証明せよ.
1997-10267-0103
【3】(1) 1 x+ 1y = 12 をみたす自然数 x , y の組 (x ,y) をすべて求めよ.
(2) n を自然数, r を正の有理数とする.このとき
∑ k=1 n⁡ 1xk =r
をみたす自然数 x k の組 ( x1,⋯ ,xn ) の個数は有限であることを示せ.
1997-10267-0104
配点70点
【4】(1) 底辺の長さが l , 2 つの底角が α , β の三角形の面積 S は,次式で与えられていることを示せ.
S= l24 ⋅ cos ⁡(α -β) -cos⁡( α+β )sin ⁡(α +β)
(2) 各辺の長さが 1 , 2, 3 の三角形の各辺に 1 点ずつ頂点をもつ正三角形の面積の最小値を求めよ.