1997　信州大学　前期　経済，理学部MathJax

【１-１】　得点が$1$点，$0$点，$-1$点の$3$通りに得られるゲームがある．得点が$1\text{，}0\text{，}-1$である確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{4}}$とする．今，$n$を$2$以上の与えられた自然数とする．このゲームを何回か行い，$1$回目からの合計得点が最初に$n$点または$-n$点に達したとき，ゲームをやめることにする．$k$回目でゲームをやめる確率を$P(k)$としたとき，$k=n\text{，}n+1\text{，}n+2$について，それぞれ$P(k)$を求めよ．

【１-２】　同じ品質のガラス板がたくさんある．このガラス板を$10$枚重ねて光を通過させたとき，光の強さがはじめの${\displaystyle \frac{2}{5}}$倍になった．通過した光の強さをはじめの${\displaystyle \frac{1}{8}}$倍以下にするには，このガラス板を何枚以上重ねればよいか．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}5=0.6990$とする．

【２-１】　次の各問いに答えよ．

(1)　$p+q=4\text{，}pq=3\text{，}r+s=1\text{，}rs=-2$のとき，${(pr+qs)}^3+{(ps+rq)}^3$の値を求めよ．

【２-１】　次の各問いに答えよ．

(2)　$x$の整式$x^3+3x^2+ax+a$が$x^2+bx+1$で割り切れるように定数$a\text{，}b$の値を定めよ．

【２-２】　$r$を実数とする（ただし，$r\ne 0\text{，}1$）．$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$が次のように帰納的に定義されているとき，それぞれの一般項$a_n\text{，}{b}_n$を求めよ．

(1)　$a_1=1\text{，}{a}_n-r{a}_{n-1}=1\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

(2)　$b_1=1\text{，}{b}_n-r{b}_{n-1}=n\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

【３-１】　空間内に点${\mathrm{A}}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}5\text{）}$が与えられている．点$\mathrm{Q}$は${\displaystyle \sum _{n=1}^5}\overrightarrow{\mathrm{Q}{\mathrm{A}}_n}=\overrightarrow{0}$を満たすものとする．このとき任意の点$\mathrm{P}$に対して次の等式が成り立つことを示せ．

(1)　$5\overrightarrow{\mathrm{PQ}}={\displaystyle \sum _{n=1}^5}\overrightarrow{\mathrm{P}{\mathrm{A}}_n}$

(2)　$5{\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|}^2={\displaystyle \sum _{n=1}^5}{\left|\overrightarrow{\mathrm{P}{\mathrm{A}}_n}\right|}^2-{\displaystyle \sum _{n=1}^5}{\left|\overrightarrow{\mathrm{Q}{\mathrm{A}}_n}\right|}^2$

【３-２】　$5$個の銅貨${\mathrm{C}}_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}5\text{）}$を同時に投げる．確率変数$X_k$は銅貨${\mathrm{C}}_k$の表が出たら$X_k=1\text{，}$裏が出たら$X_k=-1$として定めるものとする．このとき，確率変数$Y={(X_1+X_2+X_3+X_4+X_5)}^2$の平均値と分散を求めよ．

【４-１】　関数$f(x)=x\log x\text{（}x>0\text{）}$および定数$t\text{（}t>1\text{）}$が与えられている．曲線$y=f(x)$とその上の点$(t,f(t))$における接線および直線$x=1$によって囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とする．直線$x=1$と直線$x=t$の間にあって，曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=t$によって囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，必要ならば不等式$\log x<\sqrt{x}\text{（}x>0\text{）}$を用いてもよい．

(1)　関数$y=f(x)$の増減およびグラフの凹凸を調べて，そのグラフの概形を描け．

(2)　$S_1(t)$および$S_2(t)$を求めよ．

(3)　極限値$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_1(t)\log t}{S_2(t)}}$を求めよ．

【４-２】　$E$を$2$次の単位行列とし，$2$次の正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$について，次の各問いに答えよ．

(1)　$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$を示せ．

(2)　$A^3=O$ならば$A^2=O$を示せ．

【４-３】　$xy$平面において，原点$\mathrm{O}(0,0)$を中心とする半径$1$の円$C_0$と，最初にその中心が座標$(2,0)$の点にあり，$C_0$上を反時計回りに滑ることなく回転移動する半径$1$の動円$C$がある．動円$C$の中心を${\mathrm{O}}^{\prime }$とする．また原点$\mathrm{O}$を端点とする点$\mathrm{A}(1,0)$を通る半直線$\mathrm{OA}$から反時計回りに見たときの，半直線$\mathrm{OA}$と原点$\mathrm{O}$を端点とする半直線$\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }$が作る角を$\theta \text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$とする．このとき，最初，座標$(3,0)$の点にあった動円$C$上に固定された点$\mathrm{P}$と原点$\mathrm{O}$との距離$\mathrm{OP}$を$\theta$を用いて表せ．また点$\mathrm{P}$の軌跡の概形を描け．

【４-２】　$▵\mathrm{ABC}$とその内部の点$\mathrm{P}$に対し，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とし，直線$\mathrm{BP}$と直線$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{E}$とする．点$\mathrm{D}$が線分$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分し，${\displaystyle \frac{▵\mathrm{ABC}}{▵\mathrm{ABP}}}={\displaystyle \frac{11}{3}}$であるとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}}$の値を求めよ．

【４-３】　初項から第$n$項（$n\geqq 1$）までの和$S_n$が$n$に関する$3$次の整式

$S_n=n^3+p{n}^2+qn+r$

で与えられる数列$\{a_n\}$がある．次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$が等差数列になるための定数$p\text{，}q\text{，}r$に関する条件を求め，また，そのときの等差数列$\{b_n\}$の初項と公差を求めよ．

【５-２】　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とする．方程式$x^3+a{x}^2+bx+c=0$の$3$つの解$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$が次の条件を満たすものとする．また，以下において$i$は虚数単位とする．

(1)　$\alpha$は実数で，$\beta \text{，}\gamma$は実数でない

(2)　$|\alpha -1+4i|=|\beta -1+4i|=5$

このとき$|\alpha \beta \gamma |$が最大となるような$c$の値を求めよ．

【５-４】　$10$進法で表された$10$桁の自然数をランダムに選び，その自然数の各桁の数字を並べ替えてできる$10$桁の自然数のうち最大の数と最小の数を画面に出力するプログラムをBASIC言語で書け．

問題の選択について

経済学部は，【１】〜【４】の４つの問題群から３つ選び，さらにその中の問題を選択する．

理学部は，【１】〜【３】必須，【４】〜【６】からそれぞれ１題を選択する．なお，【６】の問題群は欠．