1997　信州大学　後期　理学部数学I,II,A,BMathJax

【１】　$b$を整数とする．$2$次方程式$x^2-(b+3)x+b^2=0$が整数解をもつとき，$b$および，そのときの方程式の解をすべて求めよ．

【２】(1)　次の不等式を証明せよ．

$|\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \cos \theta |\leqq 1$

(2)　次の不等式を証明せよ．

$|\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \cos \gamma \sin \beta \cos \delta +\sin \alpha \sin \gamma \sin \delta \cos \theta |\leqq 1$

【３-１】　多項式$a{x}^3+b{x}^2+cx+d$が次の(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を満たしているとする．

(ⅰ)　$x+1$で割り切れる．

(ⅱ)　$x-1$で割ったときの余りは$8$である．

(ⅲ)　$x-2$で割ったときの余りは$36$である．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$を$d$で表せ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$が自然数であるとき，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の値を求めよ．

【３-２】　平面において点$\mathrm{O}$をとり，$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円に接する任意の直線を$l$とする．直線$l$上の動点$\mathrm{P}$に対し$\mathrm{O}$を端点とする半直線$\mathrm{OP}$上に$\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{OP}}}$となる点${\mathrm{P}}^{\prime }$をとるとき，${\mathrm{P}}^{\prime }$の軌跡を求めよ．

【３-３】　道しるべのために出発点に$1$個石を置き，続いて奇数番目の角を曲がるたびに，直前に置いた石の数より$1$個多く石を置き，偶数番目の角を曲がるたびに直前に置いた石の数より$2$個多く石を置いていくとする．$n$回角を曲がったときに置かれた石の総数を$S_n$とする．自然数$k$に対して，${\displaystyle \sum _{n=0}^k}{S}_n$を求めよ．ただし，$S_0=1$とする．

【４-１】　$\overrightarrow{x}\text{，}\overrightarrow{y}\text{，}\overrightarrow{p}$を空間内のベクトル，$t$を実数とする．

(1)　ベクトルの大きさと内積の関係を用いて，次の等式と不等式を証明せよ．

$|t\overrightarrow{x}|=\left|t\right|\left|\overrightarrow{x}\right|\text{，}$$|\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}|\leqq \left|\overrightarrow{x}\right|+\left|\overrightarrow{y}\right|$

(2)　不等式$|\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}|+|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|\geqq 2\left|\overrightarrow{y}\right|$を証明し，さらに等号はどのような場合に成り立つかを調べよ．

(3)　整数$R$に対し，次の$2$つの不等式

$|\overrightarrow{x}+\overrightarrow{p}|+|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}|\leqq R\text{，}$$|\overrightarrow{y}+\overrightarrow{p}|+|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{p}|\leqq R$

が成り立つとき，$0\leqq t\leqq 1$であれば$\overrightarrow{z}=t\overrightarrow{x}+(1-t)\overrightarrow{y}$に対しても

$|\overrightarrow{z}+\overrightarrow{p}|+|\overrightarrow{z}-\overrightarrow{p}|\leqq R$

が成り立つことを証明せよ．

【４-２】　次の問いに答えよ．

(1)　方程式$x^4+x^3+x^2+x+1=0$の解を極形式で表せ．

(2)　等式$x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)$が$x$についての恒等式になるように，定数$a\text{，}b$の値を定めよ．ただし，$a>0\text{，}b<0$とする．

(3)　$\cos 72\mathrm{°}$の値を求めよ．

【４-３】　原点$\mathrm{O}$を出発して，次のルールで$xy$平面上を動く点$\mathrm{Q}$がある．

ルール：点$\mathrm{Q}$はサイコロを投げて$3$以上の目が出たら右に$1$だけ動き，$2$以下の目が出たら上に$1$だけ動く．

　整数$k\text{，}l\geqq 0$に対し，サイコロを何回か投げた後に動点$\mathrm{Q}$が点$(k,l)$に到達するという事象を${\mathrm{A}}_{k,l}$で表すことにする．直線$x=3$または直線$y=3$上の点に初めて到達するまでのサイコロ投げの回数を$N$で表すことにする．

(1)　事象${\mathrm{A}}_{k,l}$の確率$P({\mathrm{A}}_{k,l})$を求めよ．

(2)　$1\leqq n\leqq 7$なる各$n$について，確率$P(N=n)$を求めよ．

(3)　$N$の平均$E(N)$を求めよ．

【４-４】　$2$つの自然数$M\text{，}N$をINPUT文で入力して，それらの最大公約数と最小公倍数を画面に出力するプログラムをBASIC言語で書け．