1997　信州大学　前期　繊維学部繊維システム工学科MathJax

【１】　つぎの積分を計算しなさい．

(1)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{2x-1}{{(x+1)}^2}}dx$

【１】　つぎの積分を計算しなさい．

(2)　${\displaystyle \int }\sin 3x\cdot \sin 2xdx$

【１】　つぎの積分を計算しなさい．

(3)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{\sqrt{x}+a}{x}}dx$

【２】　つぎの問いに答えなさい．

(1)　$x^2-y^2=a^2$のとき，${\displaystyle \frac{d^{2}y}{{dx}^2}}$を$x$と$y$を用いて表しなさい．

【２】　つぎの問いに答えなさい．

(2)　$y=\log {(1+\cos x)}^2$のとき，${\displaystyle \frac{d^{2}y}{{dx}^2}}+2e^{-\frac{y}{2}}=0$となることを示しなさい．

【３】　座標平面上を移動する点$\mathrm{A}$の座標$(x,y)$が時刻$t\text{（}\geqq 0\text{）}$の関数として，$x=2(t-\sin t)\text{，}y=2(1-\cos t)$で与えられるとき点$\mathrm{A}$が描く曲線$C$についてつぎの問いに答えなさい．

(1)　$t={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき点$\mathrm{A}$における接線の方程式を求めなさい．

(2)　曲線$C$と(1)で求めた接線，および$x$軸が囲む部分の面積を求めなさい．

(3)　時刻$t$における点$\mathrm{A}$の加速度の大きさを求めなさい．

【４】　曲線$y=\log x$と$x\text{，}y$軸および$y=10$で囲まれる領域を$y$軸のまわりに回転して得られる器に毎秒$v$の水を入れる．以下の設問に答えなさい．

(1)　水の深さが$y=h$のときの水の体積を求めなさい．

(2)　水の深さが$h$のときの水面の上昇速度を求めなさい．