1997　静岡大学　前期MathJax

【１】　実数$k$に対して，方程式

$\begin{array}{ll}{x}^2+y^2-2kx+2y+4k-2=0& \cdots \text{①}\\ y=k(x-2)& \cdots \text{②}\end{array}$

を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　方程式$\text{①}$が円を表すような$k$の範囲を求めよ．

(2)　(1)の$k$の範囲において，円$\text{①}$と直線$\text{②}$が$2$点で交わるように$k$が動くとき，直線$\text{②}$の通りうる領域を図示せよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　正の整数$m$が奇数のとき，$m^2$は$8$で割ると$1$余ることを示せ．

(2)　互いに素な正の整数$l\text{，}$$m$と正の整数$n$が$l^2+m^2=n^2$を満たしている．このとき$l$と$m$のいずれか一方は偶数で，他方は奇数となることを示せ．

【３】　$2$次方程式$x^2+ax+b=0$は，$2$つの実数解$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$をもつとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}(x^2+ax+b)\mathit{dx}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}{(\beta -\alpha )}^3$であることを示せ．

(2)　${\displaystyle {\int }_{\gamma }^{\beta }}(x^2+ax+b)\mathit{dx}=0$となる$\gamma$$\text{（}\gamma <\beta \text{）}$を，$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

【４A】　複素数$z$に関する等式

$|z+i|+|z-i|=2\sqrt{2}$$\cdots \text{①}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$z$が$\text{①}$を満たすとき，$\bar{z}$も$\text{①}$を満たすことを示せ．

(2)　$z=x+yi$が$\text{①}$を満たすとき，$w=\sqrt{2}x+yi$は$\left|w\right|=\sqrt{2}$を満たすことを示せ．

【４B】　$A^2=E\text{，}$$A\ne E$（$E$は$2\times 2$の単位行列）を満たす行列$A$で表される座標平面上の$1$次変換を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A\overrightarrow{p}\ne \overrightarrow{p}$となるベクトル$\overrightarrow{p}$に対し，ベクトル$\overrightarrow{q}\text{，}$$\overrightarrow{m}\text{，}$$\overrightarrow{n}$を$\overrightarrow{q}=A\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{m}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}}{2}}\text{，}$$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{p}-\overrightarrow{m}$とおくとき，ベクトル$A\overrightarrow{m}$および$A\overrightarrow{n}$を$\overrightarrow{m}$と$\overrightarrow{n}$を用いて表せ．

(2)　この$1$次変換によって点$(1,2)$が点$(2,-1)$に移されるとき，行列$A$を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$が，$a_0=1\text{，}$$a_{n+1}=(1+r)a_n-r{a}_{n-1}$$\text{（}r>0\text{，}$$1\leqq n\leqq N-1\text{）}$を満たしているとき，次の問いに答えよ．

(1)　一般項$a_n$を$r$と$a_1$を用いて表せ．

(2)　$a_N=0$のとき，$a_1$を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　曲線$y=\log x\text{，}$直線$x=2\sqrt{2}$および$x$軸によって囲まれた部分$S$の面積を求めよ．

(2)　(1)で定めた部分$S$を$y$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

(3)　曲線$y=\log x$$\text{（}1\leqq x\leqq 2\sqrt{2}\text{）}$の長さを求めよ．