1997　静岡大学　後期MathJax

【１】　放物線$y=x^2-ax+a$について，次の問いに答えよ．

(1)　この放物線が$x$軸から切り取る線分の長さが，$3$以上になるときの$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　この放物線が直線$y=ax$と異なる$2$点で交わるように$a$を動かすとき，この$2$点を結ぶ線分の中点の軌跡を図示せよ．

(編注)配点は原典通り

【２】　平面上に平行四辺形$\mathrm{ABCD}$と点$\mathrm{P}$があり，

$m\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$$\text{（}m>0\text{）}$

を満たしているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{u}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{v}$とおいて$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{u}\text{，}$$\overrightarrow{v}\text{，}$$m$を用いて表せ．

(2)直線$\mathrm{AP}$が辺$\mathrm{BC}$またはその延長と交わる点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{AP}:\mathrm{PQ}$を$m$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{ACD}$の重心を$\mathrm{G}$とする．線分$\mathrm{PG}$が辺$\mathrm{AD}$と平行になるように$m$の値を求めよ．

(編注)配点は原典通り

【３】　原稿欠落

【４A】　複素数平面上に図のような$3$点${\mathrm{P}}_1(z_1)\text{，}$${\mathrm{P}}_2$$(z_2)\text{，}$${\mathrm{P}}_3$$(z_3)$を頂点とする三角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$がある．その各辺を底辺とし，頂角が$120\mathrm{°}$の二等辺三角形${\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_3$を三角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$の外側に描く．これらの各三角形の頂点${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_2\text{，}$${\mathrm{Q}}_3$を表す複素数をそれぞれ$w_1\text{，}$$w_2\text{，}$$w_3$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}i}{2}}$を極形式で表せ．

(2)　$w_1={\displaystyle \frac{{\alpha }^2{z}_3-z_2}{{\alpha }^2-1}}\text{，}$$w_2={\displaystyle \frac{{\alpha }^2{z}_1-z_3}{{\alpha }^2-1}}\text{，}$$w_3={\displaystyle \frac{{\alpha }^2{z}_2-z_1}{{\alpha }^2-1}}$が成り立つことを示せ．

(3)　${w_1}^2+{w_2}^2+{w_3}^2-w_2{w}_3-w_3{w}_1-w_1{w}_2$の値を求めよ．

(編注)理(生物地球環境科学科),農学部の配点は原典通り

【４B】　$E\text{，}$$O$ をそれぞれ$2\times 2$の単位行列，零行列とし，$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A-E$の逆行列を求めよ．

(2)　$E+A+A^2+A^3+A^4+A^5=O$および$A^6=E$となることを示せ．

(3)　$E+A+A^2+\cdots +A^{14}$を求めよ．

(編注)生物地球環境科学科,農学部の配点は原典通り

【１】　五角形$\mathrm{ABCDE}$と点$\mathrm{O}$は，次の条件

$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=1\text{，}$$\mathrm{DE}=\mathrm{EA}\text{，}$$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}=\mathrm{OE}$

を満たしている．ここで$\theta =\mathrm{\angle AOB}$$\text{（}0<\theta <180\mathrm{°}\text{），}$$a=\mathrm{DE}=\mathrm{EA}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\theta$と$a$は次の式を満たすことを示せ．

$4{\cos }^3\theta -2a^4{\cos }^2\theta +(4a^4-4a^2-3)\cos \theta$$-2a^4+4a^2-1=0$

(2)　$a=\sqrt{2}$のとき，$\theta$を求めよ．

(3)　$\theta =30\mathrm{°}$のとき，三角形$\mathrm{AOE}$の面積を求めよ．

【２】　関数$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+2x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$と$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}=f(a_n)$$\text{（}n\geqq 1\text{）}$によって定義される数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$a_3$の値を求めよ．

(2)　$x_1<x_2<2$のとき，$f(x_1)<f(x_2)$が成り立つことを示せ．

(3)　$n=3\text{，}$$4\text{，}\cdots$に対し，$a_n<1+{\displaystyle \frac{2}{n}}$が成り立つことを示せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}\mathit{dx}}$の値を求めよ．

(2)　不等式${\displaystyle \frac{\pi }{4}}<{\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{1+x^4}}\mathit{dx}<1$が成り立つことを示せ．

【１】　放物線$y=x^2-2(k+1)x+2k^2$について，次の問いに答えよ．

(1)　この放物線が直線$y=x-k$と共有点をもつような$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　この放物線と$2$直線$y=0\text{，}$$y=x-k$との共有点の個数の総数を$k$の値によって分類せよ．

【３】　曲線$y=e^{kx}$$\text{（}k>0\text{）}$を$C$とし，$C$上に点${\mathrm{P}}_0$$(x_0,y_0)$をとる．${\mathrm{P}}_0$における$C$の接線$l_1$と$x$軸との交点を${\mathrm{Q}}_1$$(x_1,0)$とし，${\mathrm{Q}}_1$で$x$軸に立てた垂線と$C$との交点を${\mathrm{P}}_1$$(x_1,y_1)$とする．次に${\mathrm{P}}_1$における$C$の接線$l_2$と$x$軸との交点を${\mathrm{Q}}_2$$(x_2,0)$とし，${\mathrm{Q}}_2$で$x$軸に立てた垂線と$C$との交点を${\mathrm{P}}_2$$(x_2,y_2)$とする．以下この操作をくり返す．$x_0=1$とするとき，数列$\{y_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)　一般項$y_n$を求めよ．

(2)　和${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{y}_n$を求めよ．

【５】　不等式$1\leqq y\leqq -x^2+2x+1$を満たす平面上の点$(x,y)$の集合を$A$とし，不等式$0\leqq y\leqq x^2-ax+b\text{，}$$0\leqq x\leqq 2$を満たす平面上の点$(x,y)$の集合を$B$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A\cap B$が空集合とならないための$a\text{，}$$b$の条件を求め，点$(a,b)$の存在する領域を図示せよ．

(2)　$A⫅B$となるための$a\text{，}$$b$の条件を求め，点$(a,b)$の存在する領域を図示せよ．

(3)　$A⫅B$となるとき，$B$の面積を最小にする$a\text{，}$$b$の値を求めよ．