1997　熊本大学　前期MathJax

【１A１】　ある整式$A$を$x^2+1$で割ると余りが$x+1$で，$x+1$で割ると余りが$1$である．整式$A$を$(x^2+1)(x+1)$で割ったときの余りを求めよ．

【１A２】　$1$辺の長さが$1$の正五角形において，$5$本の対角線を引いたときにできる小さな正五角形の$1$辺の長さを求めよ．

【１A３】　$a_1=1\text{，}$$b_1=1\text{，}$$b_{n+1}=3b_n+a_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$をみたす$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$があり，$c_n=a_n+b_n+1$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき$\{c_n\}$は公比$3$の等比数列になる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_n$を$n$の式で表せ．

(2)　$b_n$を$n$の式で表せ．

【１A４】　右の図のような$\mathrm{OA}=p\text{，}$$\mathrm{OC}=q\text{，}$$\mathrm{OD}=r$である直方体$\mathrm{OABC‐DEFG}$において，平面$\mathrm{ADC}$と平面$\mathrm{DFC}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

【１B１】　相異なる$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$に対して$\mathrm{\angle AOB}=120\mathrm{°}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおき$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{2\left|\overrightarrow{b}\right|\overrightarrow{a}+\left|\overrightarrow{a}\right|\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|+2\left|\overrightarrow{b}\right|}}$とおくとき，$\mathrm{\angle AOP}$を求めよ．

【１B２】　$p\text{，}$$q\text{，}$$r$は実数で，$p^2+q^2\ne 0$とする．$x$の方程式

$x^3+(2p-1)x^2$$+(p^2+q^2-2p)x$$-p^2-q^2=0$

の$3$つの解${\alpha }_1\text{，}$${\alpha }_2\text{，}$${\alpha }_3$に対して，${\displaystyle \frac{1}{{\alpha }_1}}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{{\alpha }_2}}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{{\alpha }_3}}$を解とする方程式が

$r{x}^3-33x^2+9x-1=0$

となるとき，${\alpha }_1\text{，}$${\alpha }_2\text{，}$${\alpha }_3$の値を求めよ．

【１B３】　袋$\mathrm{A}$には白玉が$m$個と黒玉が$1$個入っており，袋$\mathrm{B}$には白玉が$1$個と黒玉が$m$個入っている．ただし，$m\geqq 1$とする．それぞれの袋から無作為に玉を$1$個ずつ取り出し，$2$個とも白玉なら$2$個とも袋$\mathrm{A}$に入れ，$2$個とも黒玉なら$2$個とも袋$\mathrm{B}$に入れ，白玉と黒玉が出たときは，白玉は黒玉が出た袋に，黒玉は白玉が出た袋に入れる，という試行を考える．試行後の袋$\mathrm{A}$の中の白玉の個数の確率分布およびその期待値を求めよ．

【２】　$x$の$2$次方程式

$x^2+2(a+{\sin }^2\theta )x$$+2a+3+\cos 2\theta =0$

が$-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$の範囲のすべての$\theta$に対して実数解をもつとする．

　このとき，$a$の値の範囲を求めよ．

(注)　教育学部は$-60\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 60\mathrm{°}$

【３】　$2$つの放物線$y=x^2\text{，}$$y={(x-n)}^2+n^2$と$y$軸で囲まれた部分（境界線を含む）にあって，$x$座標，$y$座標がともに整数である点の個数を$a_n$とする．

　このとき，次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数である．

(1)　$a_n$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n^4}}(a_1+a_2+\cdots +a_n)$を求めよ．

【４】　区間$[-2,2]$において連続な曲線$y=f(x)$が次の条件を満たしているとする．

$f(-2)=f(2)=0$

$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}\alpha & \text{（}-2<x<-1\text{）}\\ 2x& \text{（}-1<x<1\text{）}\\ -\alpha & \text{（}1<x<2\text{）}\end{array}$

　$\alpha \geqq 0$として，${\displaystyle {\int }_{-2}^2}|f(x)|\mathit{dx}$を最小にする$\alpha$の値およびその最小値を求めよ．

【１B４】　$xy$平面において，原点を中心として$60\mathrm{°}$回転し，さらに$y$軸に関して対称な点に移す$1$次変換を$f$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f$を表す行列を求めよ．

(2)　点$(x,y)$が$f$によって自分自身に移されるとき，$x\text{，}$$y$の関係式を求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$12\mathrm{cm}$の正三角形$\mathrm{ABC}$がある．点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}$から，点$\mathrm{Q}$は点$\mathrm{B}$から，点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{C}$から同時に出発し，それぞれ三角形$\mathrm{ABC}$の辺に沿って左まわり（反時計まわり）に動く．点$\mathrm{P}$は毎秒$2\mathrm{cm}\text{，}$点$\mathrm{Q}$は毎秒$3\mathrm{cm}\text{，}$点$\mathrm{R}$は毎秒$4\mathrm{cm}$の一定の速さで動くとき，出発から$t$秒後の三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S(t)$の$0\leqq t\leqq 3$における最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$x>0$のとき$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}\geqq 2$を示せ．

(2)　$f(x)=x^3-3x\text{，}$$g(x)=x^3-3a{x}^2+3a^{2}x$$\text{（}a>0\text{）}$とする．$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた面積を$S$とするとき，${\displaystyle \frac{S}{a}}$を最小にする$a$の値およびその最小値を求めよ．