1997　上智大学　理工(数)学部MathJax

【１】　曲線$C:y=x^3-6x^2+5x$を考える．

(1)　原点$(0,0)$における曲線$C$の接線を$y=m_{1}x$とする．傾き$m_1$を求めよ．

(2)　原点を通る直線$y=m_{2}x$が原点以外の点で曲線$C$に接するとき，その接点の座標および直線の傾き$m_2$を求めよ．

(3)　原点を通る直線$l:y=mx$と曲線$C$とが相異なる$3$点で交わるための$m$の条件を求めよ．

(4)　直線$l:y=mx$が$x>0$の部分で曲線$C$と$2$点で交わるとき，$l$と$C$で囲まれる二つの図形の面積が等しくなるときの直線$l$の傾き$m$の値と，その図形の面積を求めよ．

【２】　長さ$4$の線分が第$1$象限内にあり，その両端はそれぞれ$x$軸と$y$軸上にあるものとする．この線分を含む直線を回転軸として，原点に中心を持つ半径$1$の円を回転させた立体の体積を$V$とする．$V$を最大にするような線分の位置とそのときの$V$の値を求めよ．

【３】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$を$V$で表す．頂点$\mathrm{A}$の平面$\mathrm{BCD}$に関して対称な点を${\mathrm{A}}^{\prime }$とする．同様に$\mathrm{B}$の$\mathrm{ACD}$に関して対称な点を${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}\mathrm{C}$の$\mathrm{ABD}$に関して対称な点を${\mathrm{C}}^{\prime }\text{，}\mathrm{D}$の$\mathrm{ABC}$に関して対称な点を${\mathrm{D}}^{\prime }$とする．正四面体${\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{BCD}\text{，}\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{AB}{\mathrm{C}}^{\prime }\mathrm{D}\text{，}\mathrm{ABC}{\mathrm{D}}^{\prime }$をそれぞれ$V_1\text{，}{V}_2\text{，}{V}_3\text{，}{V}_4$とする．$\mathrm{DC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．

(1)　$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．

(2)　$\cos ({\displaystyle \frac{1}{2}}\angle \mathrm{AMB})\text{，}\cos ({\displaystyle \frac{1}{2}}\angle {\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{M}{\mathrm{B}}^{\prime })$を求めよ．

(3)　$▵{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{M}{\mathrm{B}}^{\prime }$の面積を求めよ．

(4)　四面体${\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{C}{\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{D}$の体積を求めよ．

(5)　多面体がその任意の面を含む平面の片側にあるとき，凸多面体という．$V\text{，}{V}_1\text{，}{V}_2\text{，}{V}_3\text{，}{V}_4$を含む最小の凸多面体の体積を求めよ．