1998　千葉大学　前期MathJax

【１】　実数$x$が

$-1\leqq {\log }_2(3x-1)\leqq 3$

をみたしているとき，関数

$f(x)={({\log }_{2}x)}^2-{\log }_{2}x$

の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

【２】　与えられた実数$a\text{，}b$のうち，大きくない方を$\min \{a,b\}$で表すことにする．関数$f(x)=x^3-7x$に対して

$g(x)=\min \{f(x+1),f(x-1)\}$

とおく．

(1)　$0\leqq x\leqq 3$のとき，$y=g(x)$が最大となる$x$の値，および最小となる$x$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$2$つのグラフ$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　座標平面において，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$をそれぞれ直線$x=-1\text{，}x=2$上の点とし，直線$\mathrm{PQ}$が円$x^2+y^2=1$に接するように動くものとする．このとき，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の$y$座標がともに整数であるような$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の組をすべて求めよ．

【４】　$1$次関数$f_n(x)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が

$f_1(x)=x+1\text{，}$

$x^2{f}_{n+1}(x)=x^3+{\displaystyle {\int }_0^x}t{f}_n(t)dt$

をみたしている．

(1)　$f_n(x)$を求めよ．

(2)　$a>0\text{，}{b}_n=f_n(a^n)$としたとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{b_n}{b_{n+1}}}$を求めよ．

【５】　$\mathrm{AB}$を直径とする半径$1$の半円がある．$\mathrm{P}$を半円周上の動点とし，$\angle \mathrm{PAB}=\theta$とおくとき，$\mathrm{P}$は$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$をみたす範囲を動く．直径$\mathrm{AB}$と弦$\mathrm{AP}$と弧$\stackrel{⏜}{\mathrm{PB}}$で囲まれた部分の面積を$T(\theta )$で表す．

(1)　$T(\theta )$を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$が半円周上を$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$の範囲で動くとき，右図のように，線分$\mathrm{AP}$を折り目にしてこの半円を折り重ね，重なった部分の面積を$S(\theta )$とおく．このとき$S(\theta )$を$T(\theta )$と$T(2\theta )$を用いて表せ．

(3)　(2)の$S(\theta )$の最大値を与える$\theta$の値を$\alpha$とするとき，$\cos 2\alpha$の値を求めよ．

【６】　$n=0\text{，}2\text{，}\cdots$に対し

$f_n(x)={\left({\displaystyle \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{2}}}\right)}^n\text{，}$

$a_n={\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}}{f}_n(x)dx$

とおく．

(1)　$a_n$と$a_{n-2}$の関係式（$n\geqq 2$）を導き，それを利用して$a_n\text{（}n\geqq 0\text{）}$を求めよ．

(2)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$で$0\leqq f_{n+1}(x)\leqq f_n(x)$であることを利用して，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_{2n}}{a_{2n+1}}}=1$を示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }={\displaystyle \frac{3^2\cdot 5^2\cdot \cdots \cdot {(2n-1)}^2(2n+1)}{2^2\cdot 4^2\cdot \cdots \cdot {(2n)}^2}}={\displaystyle \frac{2}{\pi }}$を示せ．

【７】　$A\text{，}B\text{，}r\text{，}s$は実数の定数であり，$AB\ne 0$であるとして，関数

$f(x)=A\cos (rx)+B\sin (sx)$

を考える．次の(a)と(b)は同値であることを示せ．

(a)　すべての実数$x$に対して，$f(x+2\pi )=f(x)$が成り立つ．

(b)　$r\text{，}s$はともに整数である．

【８ア】　$\{a_n\}$を初項$a\text{，}$公差$d$の等差数列で，$a_2\text{，}{a}_5\text{，}{a}_{14}$が等比数列をなすようなものとする．ただし，$d$は$0$でないとする．

(1)　$a$と$d$の関係を求めよ．

(2)　$\{a_n\}$の中の相異なるどの$2$項の積もまたこの数列に含まれるような$a$はどんな数か．

【８イ】　右の流れ図は，正の整数$1$つを入力したとき，$1$つ以上の整数を出力する手順を表している．この流れ図について，以下の問いに答えよ．ただし，この流れ図の中の割り算は$0$以上の整数の範囲を行う．

(1)　$123$を入力したとき，出力される整数を書け．$2$回以上の出力がある場合は，出力される順番に書け．

(2)　$k$を自然数とする．ある入力に対して点$\mathrm{A}$をちょうど$k$回通過するとき，その入力の最大値と最小値を書け．

【９ア】　空間に，同一直線上にない$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$と$1$点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{P}$は$\alpha$上にはないとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$とおき，

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{2}\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{2}\text{，}$

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-1\text{，}\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{a}=2\text{，}\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{b}=-2$

とする．

(1)　$\overrightarrow{p}-s\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}$が平面$\alpha$に垂直になるように実数$s\text{，}t$を定めよ．

(2)　平面$\alpha$に関して点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{p}$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{OPQ}$の面積が${\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$のとき，$\overrightarrow{p}$の大きさ$\left|\overrightarrow{p}\right|$を求めよ．

【９イ】　正の整数$n$が与えられたとき

$n={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{１}}^k}{a}_{i}i!\text{（}0\leqq a_i\leqq i\text{）}\cdots$(＊)

をみたす整数$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_k$を求めるため，右の流れ図を書いた．ただし，この流れ図の中の割り算は$0$以上の整数の範囲で行う．

(1)　$n=197$を入力したとき，出力される整数を書け．$2$回以上の出力がある場合は，出力される順に書け．

(2)　終了したときの$b$の値を，終了したときまでに出力された値の個数$k$を使って表せ．

(3)　出力される値が$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_k$のとき，これらが(＊)をみたすことを示せ．

【10ウ】　右図のような正方形$\mathrm{ABCD}$からなる経路において，$\mathrm{A}$から出発して$8$回の移動をする動点$\mathrm{P}$を考える．ここで，$1$回の移動とは$1$つの頂点からとなりの頂点に進むこととし，${\displaystyle \frac{1}{2}}$ずつ確率で進む方向を決める．

(1)　最後に$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にある確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$が$\mathrm{C}$を訪問する回数の平均を求めよ．

(3)　$\mathrm{P}$が少なくとも$1$度は$\mathrm{C}$を訪問するという条件の下で，最後に$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にある条件つき確率を求めよ．

【11ア】　平面上の三角形$\mathrm{OAB}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{2}\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}={\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたすとする．辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$に関して$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{OQ}$の延長と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とおく．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．

(3)　$▵\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

【11イ】　方程式$x^2=7$の解の近似計算を考える．$f(x)=x^2-7$とおく．初期値$a_1\text{（}\ne 0\text{）}$と漸化式

$a_{n+1}=a_n-{\displaystyle \frac{f(a_n}{f^{\prime }(a_n)}}$

から数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots$が得られる．初期値$a_1$を適切にとれば，この数列は方程式$x^2=7$の解を近似する．

(1)　$a_1=3$のとき，$f(a_3)$の値の小数第$4$桁目を切り捨てた値を求めよ．

(2)　上の数列を計算する手順を表す流れ図を書け．ただし，$a_1$と$n$を入力とし，数列の第$n$項$a_n$を出力とせよ．また，$n$には必ず$1$以上の整数が入力されることが保証されているものとする．

(3)　$a_1=3$のとき近似される解を$\alpha$とする．このとき，$1$以上のすべての整数$n$に対して

$0<{\displaystyle \frac{a_{n+1}-\alpha }{{(a_n-\alpha )}^2}}<{\displaystyle \frac{1}{4}}$

が成り立つことを示せ．

【11ウ】　右図のような六角形$\mathrm{ABCDEF}$からなる経路において，$\mathrm{A}$から出発して$6$回の移動をする動点$\mathrm{P}$を考える．ここで，$1$回の移動とは$1$つの頂点からとなりの頂点に進むこととし，${\displaystyle \frac{1}{2}}$ずつの確率で進む方向を決める．

(1)　最後に$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にある確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$が$\mathrm{C}$を訪問する回数の平均を求めよ．

(3)　$\mathrm{P}$が少なくとも$1$度は$\mathrm{C}$を訪問するという条件の下で，最後に$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にある条件つき確率を求めよ．

【12a】　複素数平面において，原点を中心とする半径$1$の円の円周を$C\text{，}$内部を$D\text{，}$外部を$E$とする（$D\text{，}E$は円周$C$を含まない）．また，$1+a\bar{b}\ne 0$となる複素数$a\text{，}b$に対し，$z={\displaystyle \frac{a+b}{1+a\bar{b}}}$とおく．

(1)　$a\text{，}b$がともに$D$内にあるとき，$1+a\bar{b}\ne 0$であることを示せ．また，$a\text{，}b$がともに$E$内にあるときも，$1+a\bar{b}\ne 0$であることを示せ．

(2)　$a\text{，}b$がともに$D$内にあるとき，$z$も$D$内にあることを示せ．また，$a\text{，}b$がともに$E$内にあるときも，$z$は$D$内にあることを示せ．

(3)　$1+a\bar{b}\ne 0$となる複素数$a\text{，}b$に対し，$a$または$b$が$C$上にあることは，$z$が$C$上にあるための必要十分条件であることを示せ．

【12b】　座標空間内に$3$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(3,2,1)\text{，}\mathrm{B}(1,2,-3)$および球面

$S:{(x-1)}^2+{(y-2)}^2+{(z-3)}^2=45$

があって，$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は平面$\alpha$上にあるとする．

(1)　平面$\alpha$の方程式を求めよ．

(2)　平面$\alpha$に平行で，球面$S$に接する平面の方程式を求めよ．

【13a】　複素数$z$に対して複素数$w$を$w={\displaystyle \frac{2iz}{z-\alpha }}$で定める．ただし，$\alpha$は$0$でない複素数の定数とする．

(1)　点$z$が$\alpha$以外のすべての複素数を動くとき，点$w$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　点$z$がある円周$C$上を動くとき，点$w$は原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周を描くものとする．このとき，円周$C$の中心と半径を$\alpha$を用いて表せ．また，円周$C$の中心が$i$のとき，$\alpha$の値を求めよ．

(3)　$\alpha$は(2)で求めた値とする．点$z$が実軸上を動くとき，点$w$の描く図形を求めよ．

【13b】　行列$\left(\begin{array}{cc}a& 1-a\\ b& 2-b\end{array}\right)$で表される座標平面上の$1$次変換を$f$とする．$\mathrm{A}(1,1)\text{，}\mathrm{B}(2,2)\text{，}\mathrm{C}(0,4)$を座標平面上の$3$点とし，それらを$f$でうつした点をそれぞれ${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$とする．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$の$f$による像が線分${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$となるような$(a,b)$の範囲を$ab$平面上に図示せよ．

(2)　不等式$x\geqq 3\text{，}y\geqq 1$で表される領域を$D$とする．三角形$\mathrm{ABC}$の$f$による像が領域$D$と共有点を持つような$(a,b)$の範囲を$ab$平面上に図示せよ．

志望別問題選択一覧

数学I，II，A

　教育学部　小学校教員養成課程，中学校教員養成課程，理科・家庭科専攻，養護学校教員養成課程，幼稚園教員養成課程　【１】，【２】，【３】必須，【８ア】，【８イ】から１題選択

数学I，II，A，B

　文学部　行動科学科，教育学部　中学校教員養成課程，技術科専攻，法経学部　【２】，【３】必須，【９ア】，【９イ】から１題選択，【12a】，【12b】から１題選択

　工学部A，B　建築学科，園芸学部　【２】，【３】必須，【10ア】，【10イ】，【10ウ】から１題選択，【12a】，【12b】から１題選択

数学I，II，III，A，B，C

　理学部　生物学科，地球科学科，工学部Bコース　機械工学科，情報工学科，電気電子工学科

　　【２】，【３】，【４】必須，【10ア】，【10イ】，【10ウ】から１題選択，【12a】，【12b】から１題選択

　理学部　物理学科，化学科，医学部，薬学部，工学部Aコース　工業意匠学科，機械工学科，情報工学科，電気電子工学科，応用化学科，機能材料工学科，画像工学科

　　【２】，【３】，【５】必須，【11ア】，【11イ】，【11ウ】から１題選択，【13a】，【13b】から１題選択

　教育学部・中学教員養成課程　数学科専攻　【１】，【３】，【５】，【６】必須，【11ア】，【11イ】，【11ウ】から１題選択，【13a】，【13b】から１題選択

　理学部　数学・情報数理学科

　　【３】，【５】，【６】，【７】必須，【11ア】，【11イ】，【11ウ】から１題選択，【13a】，【13b】から１題選択