1998　静岡大学　前期MathJax

【１】　四面体$\mathrm{OABC}$とその内部の点$\mathrm{P}$があり，次の式をみたしている．

$2\overrightarrow{\mathrm{OP}}+3\overrightarrow{\mathrm{AP}}+5\overrightarrow{\mathrm{BP}}+7\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{a}$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{p}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$で表せ．

(3)　直線$\mathrm{OP}$と底面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{T}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OT}}$を$\overrightarrow{p}$で表せ．

(4)　$4$つの四面体，すなわち，四面体$\mathrm{PABC}\text{，}$同$\mathrm{PBCO}\text{，}$同$\mathrm{PCOA}\text{，}$同$\mathrm{POAB}$の体積の比を求めよ．

【２A】　複素平面上で夜素数$\alpha \text{，}$$\beta$の表す点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．このとき，$\mathrm{▵OAB}$が正三角形であるための必要十分条件は

$\alpha \ne 0$かつ${\alpha }^2+{\beta }^2=\alpha \beta$

であることを証明せよ．ただし，Oは原点とする．

【２B】　$3$つの直線$y=x\text{，}$$y=0\text{，}$$x=0$を，それぞれ$l_1\text{，}$$l_2\text{，}$$l_3$で表す．平面上の一次変換$f$によって，$l_1$は$l_2$に，$l_2$は$l_3$に，$l_3$は$l_1$に，それぞれ移るものとする．このとき，合成変換$f\circ f\circ f$によって自分自身に移る点が原点以外に存在するならば，$f\circ f\circ f$は恒等変換であることを示せ．

【３】　$3$次方程式$x^3-3x+c=0$は相異なる$3$つの実数解をもつとする．解のうちの任意の$1$つを$\alpha$とするとき，次のことを証明せよ．

(1)　$-2<c<2$である．

(2)　$-2<\alpha <2$かつ$\alpha \ne \pm 1$である．

(3)　$\alpha =2\cos \theta$とおけば，他の$2$つの解は$2\cos (\theta +120\mathrm{°})\text{，}$$2\cos (\theta -120\mathrm{°})$と表すことができる．

(注)　工,情報学部(3)は「$2\cos (\theta +{\displaystyle \frac{2\pi }{3}})\text{，}$$2\cos (\theta -{\displaystyle \frac{2\pi }{3}})$」

【４】　曲線$C_1\text{：}y=x^3$と曲線$C_2\text{：}y=x^2+ax-12$とがある点$\mathrm{P}$で接している．すなわち，点$\mathrm{P}$における$2$つの曲線の接線が一致している．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　定数$a$を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$における共通の接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　曲線$C_2$と接線$l$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　関数$f(x)\text{，}$$g(x)$および$2$次行列$T(\theta )$を次のように定義する．

$f(x)=e^x\cos x\text{，}$$g(x)=e^x\sin x\text{，}$$T(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$を任意に与えられた実数として，

$\left(\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)\\ g^{\prime }(x)\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}f(x)\\ g(x)\end{array}\right)\text{，}$$\left(\begin{array}{c}f(x+a)\\ g(x+a)\end{array}\right)=B\left(\begin{array}{c}f(x)\\ g(x)\end{array}\right)$

となる$2$次行列$A\text{．}$$B$を$kT(\theta )$の形で表すときの実数$k\text{，}$$\theta$をそれぞれの場合について$1$組ずつ求めよ．

(2)　$a$を任意に与えられた実数として，

$\left(\begin{array}{c}{f}^{″}(x+a)\\ g^{″}(x+a)\end{array}\right)=C\left(\begin{array}{c}f(x)\\ g(x)\end{array}\right)$

となる$2$次行列$C$を同じように$kT(\theta )$の形で表すときの実数$k\text{，}$$\theta$を$1$組求めよ．

(3)　正の実数$k$によって，

$\left(\begin{array}{c}{f}^{″}(x+a)\\ g^{″}(x+a)\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{c}f(x)\\ g(x)\end{array}\right)$

となるとする．このとき，$a$の値を求めよ．ただし，$0\leqq a<2\pi$とする．

【４】　曲線$C_1\text{：}y={(\log x)}^2$$\text{（}x>0\text{）}$と，曲線$C_2\text{：}y=\log (x^2)$$\text{（}x>0\text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)={(\log x)}^2$$\text{（}x>0\text{）}$について，関数の増減，極値，グラフの凹凸，および変曲点を調べて，曲線$C_1$の概形をかけ．

(2)　曲線$C_1$と曲線$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．