1998　静岡大学　後期MathJax

【１】　図の直方体$\mathrm{OADB‐CEGF}$において，各辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{OC}$の長さはそれぞれ$2\text{，}$$2\text{，}$$1$である．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$で表すことにして，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{T}$が辺$\mathrm{CF}$上にあり，線分$\mathrm{CT}\text{，}$$\mathrm{TF}$の長さの比が$t:(1-t)$であるとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OT}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$と$t$で表せ．ただし，$0\leqq t\leqq 1$とする．

(2)　空間における$\mathrm{▵PQR}$の面積$S$の公式

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|}^2{\left|\overrightarrow{\mathrm{PR}}\right|}^2-{(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}})}^2}$

を用いて，(1)の$T$について，$\mathrm{▵OTG}$の面積を$t$で表せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$は内積を表す．

(3)　対角線$\mathrm{OG}$を含む平面でこの直方体を切るとき，切り口の面積の最大値および最小値を求めよ．

【２】　整数の数列$\{a_n)\text{，}$$\{b_n)$を次の式によって定義する．

${(1+\sqrt{2})}^n=a_n+b_n\sqrt{2}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　数学的帰納法を用いて${(1-\sqrt{2})}^n=a_n-b_n\sqrt{2}$であることを示せ．

(2)　$a_n\text{，}$$b_n$を順次計算して，$a_n+b_n\sqrt{2}>1000$となる最小の$n$を求めよ．

(3)　$b_n\sqrt{2}$の小数部分が$0.001$以下となる最小の$n$とそのときの$b_n$の値を求めよ．

【３】　曲線$y=e^x$を$C_1\text{，}$曲線$y=2e^x$を$C_2$とし，点$(t,2e^t)$における$C_2$の接線を$l(t)\text{，}$$l(t)$と$C_1$とで囲まれる図形の面積を$S(t)$とする．

(1)　$l(0)$と$C_t$との$2$つの交点の$x$座標を${\alpha }_0\text{，}$${\beta }_0$$\text{（}{\alpha }_0<{\beta }_0\text{）}$とするとき，$S(0)={\beta }_0^2-{\alpha }_0^2$であることを示せ．

(2)　$l(t)$と$C_1$との$2$つの交点の$x$座標を${\alpha }_t\text{，}$${\beta }_t$$\text{（}{\alpha }_t<{\beta }_t\text{）}$とするとき，${\alpha }_t={\alpha }_0+t\text{，}$${\beta }_t={\beta }_0+t$であることを示せ．

(3)　$S(t)$と$S(0)$の比を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{7}}$とおく．

(ⅰ)　$\sin 4\alpha =\sin 3\alpha$であることを示せ．

(ⅱ)　$\cos \alpha$を$1$つの解とするような整数係数の$3$次方程式を求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)で求めた方程式の$3$つの解のうち$\cos \alpha$以外の解を$\cos {\alpha }_i$の形で表すとき，${\alpha }_i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{）}$を求めよ．ただし，$0<a_i<\pi$とする．

(2)　一般に，自然数$m$と$n=2m+1$に対し，$\beta ={\displaystyle \frac{\pi }{n}}$とおくとき，$\cos \beta$を$1$つの解とするような整数係数の$m$次方程式が存在する．このことを$m=5$の場合に確かめよ．

【５】　関数$f(x)=(x^4-12x^2+24)\sin x+(4x^3-24x)\cos x$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　(1)をヒントにして，不定積分${\displaystyle \int }{x}^4\sin x\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　$h(x)$を$n$次の多項式とする．$h(x)\cos x$の不定積分を

${\displaystyle \int }h(x)\cos x\mathit{dx}$$=F(x)\sin x+G(x)\cos x+C$$\text{（}C$は積分定数）

とおいて，多項式$F(x)\text{，}$$G(x)$を$h(x)\text{，}$$h^{\prime }(x)\text{，}\cdots \text{，}$$h^{(n)}(x)$を用いて表せ．

(4)　$f(x)$の不定積分${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

【３】　角$\alpha$は次の条件をみたしている．

$\tan \alpha \tan 2\alpha =\sqrt{5}\text{．}$$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$

(1)　$\cos \alpha$を$1$つの解とするような整数係数の$2$次方程式を求めよ．

(2)　$\cos 2\alpha +\cos 3\alpha =0$を示し，これを用いて$\alpha$を求めよ．

(3)　$\tan \alpha$を$1$つの解とするような整数係数の$4$次方程式を求めよ．

(4)　(3)で求めた方程式の$4$つの解のうち$\tan \alpha$以外の解を$\tan {\alpha }_i$の形で表すとき，${\alpha }_i$$\text{（}i=1\text{．}$$2\text{．}$$3\text{）}$を求めよ．ただし，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<{\alpha }_i<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【４】　座標平面の第$1$象限において，曲線$C_1\text{：}y=-x^2+2x$と曲線$C_2\text{：}xy=1$とが点$\mathrm{A}$$(1,1)$と点$\mathrm{B}$の$2$点で交わっている．動点$\mathrm{P}$は$C_1$上を$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで動くものとする．点$\mathrm{P}$と原点$\mathrm{O}$$(0,0)$を結ぶ直線と曲線$C_1$との交点を$\mathrm{Q}$で表す．線分$\mathrm{AP}\text{，}$線分$\mathrm{PQ}$および$C_2$の曲線弧$\mathrm{AQ}$で囲まれた図形を$D$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{OB}$の傾きを求めよ．

(2)　直線$\mathrm{OP}$の傾きを$m$として，図形$D$の面積を$m$で表せ．

(3)　図形$D$の面積は$m={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき最大となることを示し，最大値を求めよ．