1998　広島大学　前期MathJax

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$3$つの角の大きさの比が$A:B:C=7:4:1\text{，}$辺$\mathrm{AB}$の長さが$1$とする．

(1)　$\sin A\text{，}\sin C$の値を求めよ．

(2)　辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

【２】　$2$次関数$f(x)=p{x}^2+qx+r$は，次の(ⅰ)，(ⅱ)を満たすとする．

(ⅰ)　$y=f(x)$のグラフ上の点$(x,f(x))$における接線の傾きは$-4x+8$である．

(ⅱ)　$y=f(x)$のグラフは$x$軸と異なる$2$点で交わる．

(1)　$p\text{，}q$の値と$r$の範囲を求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフが$x$軸と交わる$2$点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}y$軸と交わる点を$\mathrm{C}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$T$とする．また，$y=f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれる図形の面積を$S$とする．$S=4T$となるような$r$の値を求めよ．

【３】　$xy$平面の点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,1)\text{，}\mathrm{B}(2,-1)$と実数$k$に対して，点$\mathrm{C}$は

$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+k\overrightarrow{\mathrm{OA}}$

を満たすとする．

(1)　内積$(\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}})\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$が$2k$となる点$\mathrm{P}$の描く図形は，$\mathrm{C}$を通り，直線$\mathrm{OA}$と直交する直線であることを示せ．

(2)　$\angle \mathrm{ACB}$の大きさが$45°$となる$k$を求めよ．

【４】　$xy$平面上に原点$\mathrm{O}(0,0)$を中心とする半径$1$の円$C$とその上の点$\mathrm{A}(1,0)$がある．円$C$上を動く点$\mathrm{P}$に対して，$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}$が三角形をつくるとき，その三角形の重心を$\mathrm{G}$とする．

(1)　$\mathrm{G}$の軌跡を求めよ．

(2)　円$C$上の点${\mathrm{P}}_0({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$に対する三角形$\mathrm{O}\mathrm{A}{\mathrm{P}}_0$の重心を${\mathrm{G}}_0$とする．(1)で求めた軌跡の${\mathrm{G}}_0$における接線が$x$軸と交わる点の座標を求めよ．

【５】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が同時に$1$個ずつサイコロを振り，出た目を比較して，大きい目を出した方の得点は$1\text{，}$他方の得点は$0\text{，}$となる試行を考える．ただし，$2$つのサイコロの出た目が同じなら$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$のいずれの得点も$0$とする．

(1)　この試行を$1$回行うとき，$\mathrm{A}$の得点が$1$となる確率を$p\text{，}\mathrm{B}$の得点が$1$となる確率を$q\text{，}$いずれの得点も$0$となる確率を$r$とする．$p\text{，}q\text{，}r$を求めよ．

(2)　この試行を$2$回行うとき，$\mathrm{A}$の合計得点が$\mathrm{B}$の合計得点より多くなる確率を求めよ．

(3)　この試行を$3$回行うとき，$\mathrm{A}$の合計得点が$\mathrm{B}$の合計得点より$1$点多くなる確率を求めよ．

【６】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ a& b\end{array}\right)\text{（}p>0\text{，}q>0\text{）}$で与えられる一次変換$f$によって$xy$平面上の直線$y=x+1$が直線$y=2x$にうつされるとする．

(1)　$a\text{，}b$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(2)　直線$y=2x-1$は$f$によってどのような図形にうつされるか．

【１】　行列

$A=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& -x\\ x& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)\text{（}x\geqq 0\text{）}$

に対して，

$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)+A\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)+A^2\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

が成り立つとする．

(1)　$x$を求めよ．

(2)　$A^3$を求めよ．

(3)　自然数$n$に対して，$A^{2n}+A^n+E$を求めよ．ただし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$である．

【２】　空間内に$4$点

${\mathrm{P}}_1(0,{\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}},1)\text{，}{\mathrm{P}}_2(0,-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}},1)\text{，}$

${\mathrm{P}}_3(1,0,{\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}})\text{，}{\mathrm{P}}_4(-1,0,{\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}})$

を定め，線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の中点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　内積$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_1}\cdot \overrightarrow{\mathrm{Q}{\mathrm{P}}_3}$と$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_1}\cdot \overrightarrow{\mathrm{Q}{\mathrm{P}}_4}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{Q}{\mathrm{P}}_3}$と$\overrightarrow{\mathrm{Q}{\mathrm{P}}_4}$のなす角を$\theta$とするとき，$\sin \theta$の値を求めよ．

(3)　四面体${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4$の体積を求めよ．

【３】　閉区間$[-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}]$上の関数$f(x)$を次の式で定義する．

$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+1}}\log \left(\right|t-{\displaystyle \frac{1}{2}}|+{\displaystyle \frac{1}{2}})dt$

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)(-{\displaystyle \frac{1}{2}}<x<{\displaystyle \frac{1}{2}})$を求めよ．

(2)　$f(x)$を最小にする$x$の値$a$と，そのときの最小値を求めよ．

(3)　(2)で求めた$a$に対して，

${\displaystyle {\int }_a^{a+1}}t\log \left(\right|t-{\displaystyle \frac{1}{2}}|+{\displaystyle \frac{1}{2}})dt$

を求めよ．

【４】　曲線$C$は媒介変数$\theta$を用いて

$C:\{\begin{array}{l}x={\cos }^2\theta -\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta \\ y=\sin \theta \cos \theta -\sqrt{3}{\sin }^2\theta \end{array}(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{5}{12}}\pi )$

と表されている．

(1)　曲線$C$が

$C:\{\begin{array}{l}x=a+b\cos (2\theta +A)\\ y=c+d\sin (2\theta +A)\end{array}(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{5}{12}}\pi )$

と表されるような$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}A\text{（}0\leqq A\leqq \pi \text{）}$を求めよ．

(2)　曲線$C$の長さを求めよ．

【５】　自然数$n$に対して，関数$f_n(x)=p_n{e}^{nx}+q_n{e}^{-nx}$が$f_n(0)=1\text{，}{f_n}^{\prime }(1)=-n$を満たすとする．

(1)　$p_n$と$q_n$を求め，${f_n}^{\prime }(x)<0$を示せ．

(2)　方程式$f_n(x)=0$の解$z_n$を求めよ．

(3)　数列$\{z_n\}$に対して，$\underset{x\to \infty }{\lim }{z}_n$を求めよ．

【６】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人がジャンケンをする．$\mathrm{A}$がグー，チョキ，バーを出す確率をそれぞれ$x\text{，}y\text{，}z$とし，$\mathrm{B}$がグー，チョキ，パーを出す確率をそれぞれ$p\text{，}q\text{，}r$とする．$1$回のジャンケンの結果，$\mathrm{A}$は次の表のような点を得る．

このときの$\mathrm{A}$の得点の期待値を$E$で表す．

(1)　$p=q=r={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$E$を最大にする$x\text{，}y\text{，}z$と，そのときの最大値を求めよ．

(2)　「$\mathrm{B}$が確率$p\text{，}q\text{，}r$をどのようにとっても$E=0$」となるには，$\mathrm{A}$は確率$x\text{，}y\text{，}z$をどのようにとればよいか．