1998　高知大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c$が$1$でない正の数であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\log }_{a}b{\log }_{b}c{\log }_{c}a$の値を求めよ．

(2)　次の$2$つの式

${\log }_{a}b+{\log }_{b}c+{\log }_{c}a=3$

${\log }_{b}a+{\log }_{c}b+{\log }_{a}c=3$

が成り立つとき，$a=b=c$であることを示せ．

【２】　関数$f(\theta )={\displaystyle \frac{1}{2}}\cos 2\theta -2a\sin \theta +2a^3-{\displaystyle \frac{1}{2}}$について，次の問いに答えよ．ただし，$0°\leqq \theta <360°$で，$a$は実数とする．

(1)　$f(\theta )$の最大値$m(a)$を求めよ．

(2)　$y=m(a)$のグラフをかけ．

【３】　点$\mathrm{A}(a,-1)$から放物線$y=k{x}^2$に引いた$2$つの接線の接点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a\text{，}k$は実数で，$k>0$とする．

(1)　点$\mathrm{A}$を通り$y$軸に平行な直線は点$\mathrm{M}$を通ることを示せ．

(2)　直線$\mathrm{PQ}$は$a$に関係なく$1$つの定点を通ることを示し，その定点を求めよ．

(3)　放物線$y=k{x}^2$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$を漸化式

$a_1=3\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{36}{12-a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)　数学的帰納法を用いて，$0<a_n<6$が成り立つことを示せ．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n-6}}$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$の式で表せ．

(3)　$a_n$を$n$の式で表せ．

【５】　$\mathrm{AB}=\sqrt{22}\text{，}\mathrm{BC}=\sqrt{7}\text{，}\mathrm{CA}=3$である三角形$\mathrm{ABC}$について，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$5:2$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{MD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ME}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

(2)　$\mathrm{MD}\perp \mathrm{CB}\text{，}\mathrm{ME}\perp \mathrm{CA}$であることを示せ．

【６】　$a\text{，}b$を$|a|\ne |b|\text{，}a\ne 0$をみたす実数定数とし，複素数$z$に対して

$w={\displaystyle \frac{(a+b)(z+1)}{az+b}}$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　$z$が単位円上の点であるとき，$w$は点$\alpha =1$を中心とする半径$1$の円周上の点であることを示せ．

(2)　$z$が単位円の内部の点であるとき，$w$が$\alpha =1$を中心とする半径$1$の円の外部の点であるための$a\text{，}b$の条件を求めよ．

【１】　$p\text{，}q$は正の数で，$p<q$とする．等比数列$\{a_n\}$と等差数列$\{b_n\}$が，$a_2=b_3=p\text{，}{a}_3=b_4=q$をみたすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$n\geqq 3$のとき，$b_n\geqq p$が成り立つことを示せ．

(3)　すべての自然数$n$に対して，$a_n>b_n$が成り立つことを示せ．

【２】　$\theta$を定数とし，

$S_n={\displaystyle \frac{1}{2}}\sin \theta +{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2\sin 2\theta +\cdots +{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n\sin n\theta$

$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　加法定理を用いて

$\sin (n+1)\theta +\sin (n-1)\theta =2\sin n\theta \cos \theta$

であることを示せ．

(2)　数学的帰納法を用いて

$S_n={\displaystyle \frac{2^{n+1}\sin \theta +\sin n\theta -2\sin (n+1)\theta }{2^n(5-4\cos \theta )}}$

であることを示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を$\theta$を用いて表せ．

【３】　平面上の異なる$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$について，

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(3,-1)\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(a,b)\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CD}}=(c,-3c)$

とする．ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は実数で，$a$と$b$は同符号となる．$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{CD}}\right|$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$c$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$が平行であるとき，$a$と$b$の関係を求めよ．

(3)　(2)において，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$が垂直であるとき，$a\text{，}b$の値はいくらか．

(4)　(3)において，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．

【４】　半径$1$の円が$x$軸に接しながら正の方向にすべらないで$1$回転するとき，円周上に固定された点$\mathrm{P}$がえがく曲線を$C$とする．点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$に重なった位置から動き始めるとして，この円が角$\theta$だけ回転したときの$\mathrm{P}$の座標$(x,y)$は

$x=\theta -\sin \theta \text{，}y=1-\cos \theta \text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$

と表される．次の問いに答えよ．

(1)　$C$上の点$\mathrm{P}$（ただし，$0<\theta <2\pi$）における接線のうち，傾きが$1\text{，}-1$である接線をそれぞれ$l\text{，}m$とする．$l$と$m$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$C$と$2$つの接線$l\text{，}m$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【５】　$\omega ={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$とし，複素数$z\text{（}z\ne 0\text{）}$に対して

$f(z)=\omega z\text{，}g(z)={\displaystyle \frac{1}{z}}$

とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$i=\sqrt{-1}$である．

(1)　$f(g(z))=g(f(f(z)))\text{，}g(f(z))=f(f(g(z)))$

が成り立つことを示せ．

(2)　$g(z)\text{，}g(f(z))\text{，}g(f(f(z)))$は異なる$3$点であることを示せ．

(3)　集合$\{g(z),g(f(z)),g(f(f(z))),f(z),f(g(z)),f(f(g(z)))\}$が$3$個の元からなるとき，$z$を求めよ．

【６】　$A$を$3$次の正方行列，$E$を$3$次の単位行列，$O$を$3$次の零行列とする．次の問いに答えよ．

(1)　$(E-A)(E+A+A^2)$を計算せよ．

(2)　$A^3=O$のとき，$(E-A)X=E$をみたす$3$次の正方行列$X$を$E$と$A$を用いて表せ．

(3)　$B=\left(\begin{array}{ccc}4& -1& -7\\ 2& 3& -10\\ 1& 1& -4\end{array}\right)$のとき，$BY=E$をみたす$3$次の正方行列$Y$を求めよ．

【７】　$1$次変換$f:(x,y)\to (by,-ax)$について，$f^1=f\text{，}{f}^{n+1}=f\circ f^n\text{（}n\geqq 1\text{）}$とし，単位円$C$を$f^n$で移した図形を$C_n$とする．$ab\ne 0$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C_n$はだ円であることを示せ．ただし，円はだ円の特別な場合である．

(2)　$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3\text{，}\cdots \text{，}{C}_n\text{，}\cdots$の中に単位円$C$と一致するものがあるとき，$a$と$b$のみたす条件を求めよ．

(3)　$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3\text{，}\cdots \text{，}{C}_n\text{，}\cdots$がすべて$C$と一致するとき，$a$と$b$の値を求めよ．

【２】　$f(x)={\displaystyle \frac{x^2-3x}{x^2+3}}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の極値を求め，$f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，変曲点は求めなくてよい．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^3}{\displaystyle \frac{dx}{x^2+3}}$の値を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を漸化式

$a_1=3\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{36}{12-a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)　数学的帰納法を用いて，$0<a_n<6$が成り立つことを示せ．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n-6}}$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$の式で表せ．

(3)　$a_n$を$n$の式で表せ．

【３】　$a\text{，}b$を$0$でない実数とし，

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(x-t)(a{t}^2+bt)dt$

とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$が$x=0$と$x=2$で変曲点をもち，極値として$-27$をとるとき，$a\text{，}b$を求め，$f(x)$のグラフの概形をかけ．

(3)　(2)において，曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．