1998　慶応義塾大学　理工学部MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を実数とし，関数$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$を考える．$f(x)$が$x=-1$で極大値を取り，グラフ$y=f(x)$の点$(1,f(1))$における接線とグラフ$y=f(x)$のもう一つの交点が$(-4,f(-4))$であるとすると，$b$と$c$は$a$の関数として表され，$b=\boxed{\text{(ア)}}\text{，}c=\boxed{\text{(イ)}}$となる．さらに，この接線とグラフ$y=f(x)$の点$(-{\displaystyle \frac{1}{2}},f(-{\displaystyle \frac{1}{2}}))$における接線が直交するとすれば，$a=\boxed{\text{(ウ)}}$である．このとき，$f(x)$は$x=\boxed{\text{(エ)}}$で極小値を取るが，この極小値が${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}$であるとすると，$d=\boxed{\text{(オ)}}$である．

【２】　自然数$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$に対して定積分

$S_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^{n}xdx$

を考える．$S_1\text{，}{S}_2$を計算して

$S_1=1\text{，}{S}_2=\boxed{\text{(カ)}}\cdots$(1)

を得る．また，部分積分法を用いて，漸化式

$S_{n+2}=\boxed{\text{(キ)}}{S}_n\cdots$(2)

を得る．したがって，(1)と(2)から$S_n$を求めることができる．また

$S_{2n}{S}_{2n+1}=\boxed{\text{(ク)}}\cdots$(3)

が成り立つ．$S_{n+1}<S_n$であることと，(2)により

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}}=\boxed{\text{(ケ)}}\cdots$(4)

を得る．(3)と(4)から

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}{S}_n=\boxed{\text{(コ)}}$

が成り立つことがわかる．

【３】　右図のような一辺の長さ$2a$の立方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$を考える．この立方体を対角線$\mathrm{AG}$のまわりに一回転させてできる立体の体積$V$を求めることにする．

　この回転体は，四面体$\mathrm{GHFC}$および$\mathrm{ABDE}$を回転させてできる円すい(Ⅰ)，(Ⅱ)とそれ以外の部分(Ⅲ)に分けられる．

　対角線$\mathrm{AG}$と三角形$\mathrm{HFC}$の交点を$\mathrm{Q}\text{，}$その座標を$(\alpha ,\alpha ,\alpha )$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{QF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$が直交することを使うと，$\alpha =\boxed{\text{(サ)}}$となることがわかる．したがって，(Ⅰ)は底面の半径$\boxed{\text{(シ)}}\text{，}$高さ$\boxed{\text{(ス)}}$の円すいである．(Ⅱ)も同様である．

　(Ⅲ)の部分の側面は線分$\mathrm{FB}$が$\mathrm{AG}$のまわりを一回転してできる面である．ここで，線分$\mathrm{FB}$上の点$\mathrm{R}(a,-a,z)$より$\mathrm{AG}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{P}(\beta ,\beta ,\beta )$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$が直交することにより，$z$と$\beta$の関係が求められ，結局，$\left|\overrightarrow{\mathrm{PR}}\right|$は$\beta$の関数として$\boxed{\text{(セ)}}$と表される．次に，$\mathrm{AG}$の中点を$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=\sqrt{3}|\beta |=w$とし，$\left|\overrightarrow{\mathrm{PR}}\right|$を$w$の関数として表したものを$g(w)$とすれば，回転体(Ⅲ)の体積は対称性を考慮すると，$2{\displaystyle {\int }_0^{\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|}}\pi {\{g(w)\}}^{2}dw=\boxed{\text{(ソ)}}$となる．

　以上より，求める体積$V=\boxed{\text{(タ)}}$となる．

【４】　$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}X=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)$を成分がすべて実数の$2$次正方行列とする．

(1)　$AX=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\text{，}XA\ne \left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$を同時にみたす$A$と$X$は存在するか？存在するなら，そのような$A$と$X$の例を一組書きなさい．存在しないなら，そのことを証明しなさい．

(2)　$AX=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}XA=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$を同時にみたす$A$と$X$は存在するか？存在するなら，そのような$A$と$X$の例を一組書きなさい．存在しないなら，そのことを証明しなさい．

【５】　$a\text{，}b$を正の実数とし，$xy$平面上のだ円

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$

に$4$点で外接する長方形を考える．

(1)　このような長方形の対角線の長さは，長方形の取り方によらず一定であることを証明しなさい．また，対角線の長さを$a\text{，}b$を用いて表しなさい．

(2)　このような長方形の面積の最大値を$a\text{，}b$を用いて表しなさい．