1998　慶応義塾大学　経済学部MathJax

【１】　$f(x)=3^x+3^{3-x}$とする．

(1)　$f(x)<12$をみたす$x$の範囲は$\boxed{\text{あ}}<x<\boxed{\text{い}}$である．

(2)　$f(x)$は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{う}}}{\boxed{\text{え}}}}$のとき最小値$\sqrt{\boxed{\text{お}}}$をとる．

【２】　年利率$5\mathrm{\%}$で$120$万円を借りて，ちょうど$1$年後から毎年$1$回，$10$万円ずつ返す．ただし残金に対して$1$年ごとに利息を計算する．

(1)　$n$回返した直後の残金は

$\boxed{\text{か}}{(1.05)}^n+\boxed{\text{き}}n+\boxed{\text{く}}$万円

である．

(2)　$\boxed{\text{け}}$回で返し終わる．ただし${\log }_{10}1.05=0.0212\text{，}{\log }_{10}2=0.3010\text{，}\boxed{\text{け}}$は自然数とする．

【３】　空間に$3$点$\mathrm{A}(-1,1,2)\text{，}\mathrm{B}(1,2,3)\text{，}\mathrm{C}(t,1,1)$がある．

(1)　原点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が$1$つの平面上にあるとき$t=\boxed{\text{こ}}$である．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の面積は$t=\boxed{\text{さ}}$のとき最小値${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{\boxed{\text{し}}}$をとる．

【４】　すべての$x\geqq 0$に対して

$x^3-3x^2\geqq k(3x^2-12x-4)$

が成り立つ定数$k$の値の範囲を求めよ．

【５】　$a>1$とする．曲線$y=x^2+x-a^2+a$と$x$軸および直線$x=a$とで囲まれた$2$つの部分の面積が等しくなる$a$の値を求めよ．またこのとき，それぞれの面積を求めよ．

【６】　$2$つの関数

$f(x)=(5b+1)x+(4-3b)(1-x)\text{，}g(x)=(3a+1)x+(6-5a)(1-x)$

について考える．区間$0\leqq x\leqq 1$において$f(x)$は$x=a$で最大になり，同じ区間において$g(x)$は$x=b$で最大になる実数の組$(a,b)$をすべて求めよ．

注意.　関数$h(x)$についてある区間で考えるとき，この区間の$c$について，不等式$h(x)\leqq h(c)$がこの区間のすべての$x$に対して成り立つとき，この区間において$h(x)$は$x=c$で最大になるという．