1998　上智大学　経済(経営)学部MathJax

【１】(1)　$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 90\mathrm{°}$とする．$2$次方程式$x^2-x+a=0$の解が$\cos \theta \text{，}2\cos 2\theta$であるとき，$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$であり，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

【１】(2)　$P(x)=bx+c$は，$0\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}$である任意の$\theta$に対し，次の式をみたしているとする．

$\sin 3\theta =P\left({\displaystyle \frac{{\cos }^2\theta }{{\sin }^2\theta }}\right){\sin }^3\theta$

このとき，$b=\boxed{\text{オ}}\text{，}c=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】(3)　$4$次方程式${(x^2-2)}^2-2=x$は，$2$つの整数の解$\boxed{\text{キ}}\text{，}\boxed{\text{ク}}$をもち，他の$2$つの解は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{2}}$である．ただし，$\boxed{\text{キ}}<\boxed{\text{ク}}$とする．

【２】　$p$を実数とし，$f(x)=-(2x-p)(2x-3p)$とおく．

(1)　放物線$y=f(x)$の頂点は$y=\boxed{\text{サ}}{x}^2+\boxed{\text{シ}}x+\boxed{\text{ス}}$のグラフ上にある．

(2)　放物線$y=f(x)$と，直線$y=-4x-8$で囲まれた部分の面積は，$p=\boxed{\text{セ}}$のとき最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}$をとる．

(3)　$p>0$とし，$3$次関数$y=g(x)$が，$g^{\prime }(x)=f(x)$をみたしているとする．$g(x)$の極大値を$M\text{，}$極小値を$m$とするとき$M-m={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}{p}^{\boxed{\text{ト}}}$である．

【３】　実部，虚部ともに整数である複素数$z$に対して実数$f(z)$が定まり，この$f(z)$は次の条件(ⅰ)，(ⅱ)をみたしているとする．

(1)　$f(1+i)$の値を求める．$z=1\text{，}w=i$のとき，$c=\boxed{\text{ナ}}$に対し$z=ciw$となるので$f(1+i)=f(1)+f(i)=\boxed{\text{ニ}}$である．

(2)　$f(2)\text{，}f(-2i)$の値を求める．$\alpha =\boxed{\text{ヌ}}+\boxed{\text{ネ}}i$とおくと，$2=\alpha +\alpha i$と表され，$c=-1$として$\alpha =ci(\alpha i)$が成り立つので

$f(2)=f(\alpha )+f(\alpha i)=\boxed{\text{ノ}}$

である．ただし，$\boxed{\text{ヌ}}\text{，}\boxed{\text{ネ}}$は整数とする．

　また$-2i=\alpha -\alpha i$に注意すれば，$f(-2i)=\boxed{\text{ハ}}$である．

(3)　$f(2-3i)$の値を求める．$z=2\text{，}w=-3i\text{，}c={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}$とすると，$z=ciw$となるので

$f(2-3i)=f(2)+f(-3i)$

である．$a\text{，}b$を整数とし，$\alpha$は(2)で定めた複素数として$1-3i=a\alpha +b\alpha i$とおけば$a=\boxed{\text{ヘ}}\text{，}b=\boxed{\text{ホ}}$である．この関係によって

$f(1-3i)=\boxed{\text{マ}}$

が成立する．したがって，$f(-3i)=f(1-3i)-f(1)=\boxed{\text{ミ}}$となり，$f(2-3i)=\boxed{\text{ム}}$が得られた．