1998　上智大学　法(法律)学部MathJax

【１】(1)　$50$人のクラスの中で野球が好きな生徒は$35$人，サッカーが好きな生徒は$25$人，バスケットボールが好きな生徒は$20$人いる．また，野球，サッカーが共に好きな生徒は$15$人，サッカーとバスケットボールが共に好きな生徒は$10$人，バスケットボールと野球が共に好きな生徒は$13$人，さらに，野球，サッカー，バスケットボールの$3$種類とも好きな生徒は$5$人だという．野球，サッカー，バスケットボールのどれも好きでない生徒は$\boxed{\text{ア}}$人である．

【１】(2)　$1$と$3$だけからなる数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_m$で$a_1+a_2+\cdots +a_m=9$となるものは全部で$\boxed{\text{イ}}$通りある．

【１】(3)　$x^2+3x+2$で割ったとき余りが$-2x+3$になるような整式を$x+1$で割ったとき，余りは$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】(4)　${(x+1)}^2$で割り切れる整式$\boxed{\text{エ}}{x}^2+\boxed{\text{オ}}x+\boxed{\text{カ}}$を$x^2+3x+2$で割ったとき，余りは$x+1$になる．

【２】　$3$次式$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$は，次の条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)をみたしているとする．

(ⅰ)　任意の$x$に対して$f(-x)=-f(x)$

(ⅱ)　$f(\sqrt{3})=0$

(ⅲ)　$-2\leqq x\leqq 2$における$|f(x)|$の最大値は$2$である．

(1)　このとき

$a=\boxed{\text{キ}}\text{，}b=\boxed{\text{ク}}\text{，}c=\boxed{\text{ケ}}\text{，}d=\boxed{\text{コ}}$

または

$a=\boxed{\text{サ}}\text{，}b=\boxed{\text{シ}}\text{，}c=\boxed{\text{ス}}\text{，}d=\boxed{\text{セ}}$

である．ただし$\boxed{\text{キ}}<\boxed{\text{サ}}$とする．

(2)　$a=\boxed{\text{サ}}\text{，}b=\boxed{\text{シ}}\text{，}c=\boxed{\text{ス}}\text{，}d=\boxed{\text{セ}}$のとき，$0\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}$の範囲で

$f(2\cos \theta )=-1$

が成立するような$\theta$の値は$\boxed{\text{ソ}}\mathrm{°}$または$\boxed{\text{タ}}\mathrm{°}$である．

　ただし$\boxed{\text{ソ}}<\boxed{\text{タ}}$とする．必要ならば次の公式

$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$

を用いてよい．

【３】　座標平面において，$3$直線$x-y=0\text{，}x-3y=0\text{，}x+y-16=0$で囲まれる$3$角形は$3$点$(0,0)\text{，}(\boxed{\text{チ}},\boxed{\text{ツ}})\text{，}(\boxed{\text{テ}},\boxed{\text{ト}})$を頂点に持つ．ただし$\boxed{\text{チ}}<\boxed{\text{テ}}$とする．この$3$角形の周および内部を$A$とする．また$x$座標，$y$座標がともに整数である点を，格子点と呼ぶことにする．

(1)　$A$の面積は$\boxed{\text{ナ}}$である．

(2)　$(x,y)$が領域$A$を動くとき，関数$x-2y+1$の最大値は$\boxed{\text{ニ}}$であり，関数$|x-2y+1|$の最大値は$\boxed{\text{ヌ}}$である．

(3)　$(x,y)$が領域$A$を動くとき，関数$x^2-6x+y^2-14y$の最小値は$\boxed{\text{ネ}}$である．

(4)　$A$に属しかつ放物線$y=x^2-14x+50$上にある格子点は全部で$\boxed{\text{ノ}}$個ある．

(5)　$A$に属する格子点は全部で$\boxed{\text{ハ}}$個ある．