1998　上智大学　理工（機械・化学）学部MathJax

【１】

(1)　$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+1\text{，}& x\leqq 1\text{のとき}\\ -2x^2+ax+b\text{，}& x>1\text{のとき}\end{array}$

で関数$f(x)$を定める．$f(x)$が$x=1$で微分可能となるのは$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}$のときである．

【１】

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }({\displaystyle \frac{1}{n+1}}+{\displaystyle \frac{1}{n+2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2n}})=\boxed{\text{ウ}}$である．$\boxed{\text{ウ}}$に当てはまるものを次の中から選べ．

【１】

(3)　$g(x)={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}|x-3t|\cos tdt$とおく．$x<0$のとき$g(x)=\boxed{\text{エ}}$である．また$x$がすべての実数を動くときの$g(x)$の最大値は$\boxed{\text{オ}}$である．

【２】　図のような立方体の頂点$\mathrm{A}$から出発してひとつ以上の辺を通って，再び$\mathrm{A}$に戻る経路を考える．ただし，ひとつの経路の中で，$2$度以上同じ辺を通ってはならないとし，通った辺が同じ場合には同一の経路とみなすものとする．例えば$\mathrm{A}‐\mathrm{B}‐\mathrm{C}‐\mathrm{D}‐\mathrm{A}$と$\mathrm{A}‐\mathrm{D}‐\mathrm{C}‐\mathrm{B}‐\mathrm{A}$は同一の経路とみなす．経路に含まれる辺の数を経路の長さと呼ぶ．

　頂点$\mathrm{A}$から出発して$\mathrm{A}$に戻る経路は$\boxed{\text{カ}}$通りで，そのうち長さが最短のものは$\boxed{\text{キ}}$通り，最長のものは$\boxed{\text{ク}}$通りである．また頂点$\mathrm{A}$から出発して頂点$\mathrm{G}$を通って$\mathrm{A}$に戻る経路は$\boxed{\text{ケ}}$通りである．

【３】　複素数$z$に対し，その実部を$\mathrm{Re}(z)$で，その虚部を$\mathrm{Im}(z)$で表す．すなわち，$z=\mathrm{Re}(z)+\mathrm{Im}(z)i$と表される．ただし，$i^2=-1$である．

　関数$f(z)$を次の式で定義する．

$f(z)={\displaystyle \frac{3+z}{1+z}}$

　$z$が虚軸上を動くとき，$\mathrm{Re}(f(z))$の最大値は$\boxed{\text{コ}}$であり，$\mathrm{Im}(f(z))$の最大値は$\boxed{\text{サ}}$である．同じく$z$が虚軸上を動くとき，

$2\mathrm{Re}(f(z))+\mathrm{Im}(f(z))$

の最大値は$\boxed{\text{シ}}+\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$であり，この最大値を与える$z$について，

$\mathrm{Re}(f(z))=\boxed{\text{セ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}$

である．

【４】　座標空間の$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(3,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,3,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,6)$に対して$▵\mathrm{ABC}\text{，}▵\mathrm{OAB}\text{，}▵\mathrm{OBC}\text{，}▵\mathrm{OCA}$の重心を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$とすると，四面体$\mathrm{PQRS}$の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$となる．$0<a\leqq 1$のとき，平面$y=a$と四面体$\mathrm{PQRS}$の交わりは三角形となる．点$\mathrm{T}(0,a,0)$からこの三角形に一番近い点は$a\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$のとき線分$\mathrm{QS}$上にあるが，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}<a\leqq 1$のときは線分$\mathrm{QS}$上にない．また点$\mathrm{T}$からこの三角形の一番遠い点までの距離は$\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}$となる．よって，四面体$\mathrm{PQRS}$のうち$0\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$の部分を$y$軸を中心に回転すると，回転体の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}\pi$となる．