1999　北海道大学　前期MathJax

【１】　面積$1$の三角形$\mathrm{ABC}$の各辺の長さをそれぞれ$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BC}=a\text{，}\mathrm{CA}=b$とする．さらに，$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$へ下ろした垂線の足$\mathrm{D}$が線分$\mathrm{AB}$上にあるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{AD}=x$とするとき，$a^2+(2\sqrt{3}-1)b^2$を，$x$を用いて表せ．

(2)　$a^2+(2\sqrt{3}-1)b^2$を最小にする$x$を求めよ．また，そのときの$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めよ．

【２】　$0<a<1$とする．曲線$y=1-x^2$と$y=({\displaystyle \frac{1}{a^2}}-1)x^2$の第$1$象限内での交点を$\mathrm{A}$とし，$\mathrm{A}$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{B}$とする．また，原点を$\mathrm{O}$とし，線分$\mathrm{OB}$と線分$\mathrm{AB}$と曲線$y=({\displaystyle \frac{1}{a^2}}-1)x^2$とで囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　面積$S$を，$a$を用いて表せ．

(3)　面積$S$を最大にする$a$の値を求めよ．

【３】　次の命題の真偽を述べ，その理由を説明せよ．ただし，$\sqrt{2}\text{，}\sqrt{3}\text{，}\sqrt{5}\text{，}\sqrt{6}$が無理数であることを用いてもよい．

(1)　$\sqrt{2}+\sqrt{3}$は無理数である．

(2)　$x$が実数であるとき，$x^2+x$が有理数ならば，$x$は有理数である．

(3)　$x\text{，}y$がともに無理数ならば，$x+y\text{，}{x}^2+y^2$のうち少なくとも一方は無理数である．

【４】　図のような碁盤の目状の道路がある．$\mathrm{S}$地点を出発して，道路上を東または北に進んで$\mathrm{G}$地点に到達する経路を考える．（図１の太線はそのような経路の一例である．）

(1)　$\mathrm{S}$地点から$\mathrm{G}$地点に至る経路は何通りあるか．

(2)　$\mathrm{S}$地点から$\mathrm{G}$地点に至る経路のうち，図２の$\mathrm{A}$地点と$\mathrm{B}$地点をともに通る経路は何通りあるか．

(3)　図３の$\mathrm{a}$の部分が通行止めのとき，$\mathrm{S}$地点から$\mathrm{G}$地点に至る経路は何通りあるか．

（図１）	（図２）
（図３）

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$において，面積が$1$で$\mathrm{AB}=2$であるとき，

${\mathrm{BC}}^2+(2\sqrt{3}-1){\mathrm{AC}}^2$

の値を最小にするような$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めよ．

【２】　図のような碁盤の目状の道路がある．$\mathrm{S}$地点を出発して，道路上を東または北に進んで$\mathrm{G}$地点に到達する経路を考える．（図１の太線はそのような経路の一例である．）

(1)　$\mathrm{S}$地点から$\mathrm{G}$地点に至る経路は何通りあるか．

(2)　$\mathrm{S}$地点から$\mathrm{G}$地点に至る経路のうち，図２の$\mathrm{A}$地点と$\mathrm{B}$地点をともに通る経路は何通りあるか．

(3)　図３の$\mathrm{a}\text{，}\mathrm{b}$の$2$か所が通行止めのとき，$\mathrm{S}$地点から$\mathrm{G}$地点に至る経路は何通りあるか．

（図１）	（図２）
（図３）

【３】　$xy$平面上の$2$直線$L_1\text{，}{L}_2$を

• $L_1:y=0\text{（}x\text{軸）}$
• $L_2:y=\sqrt{3}x$

で定める．$\mathrm{P}$を$xy$平面上の点とする．直線$L_1$に関して$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}\text{，}$直線$L_2$に関して$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$の座標を$(a,b)$とするとき，$\mathrm{R}$の座標を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$2$点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の距離が$2$になるような$\mathrm{P}$の軌跡$C$を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積の最大値とそれを与える$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【４】　$f(x)$を周期$1$の周期関数とする．すなわち，$f(x+1)=f(x)\text{（}-\infty <x<\infty \text{）}$とする．$a$を実数とし，$p={\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{ax}f(x)dx$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$n$を自然数とするとき，${\displaystyle {\int }_n^{n+1}}{e}^{ax}f(x)dx$を$p$を用いて表せ．

(2)　$n$を自然数とするとき，${\displaystyle {\int }_0^n}{e}^{ax}f(x)dx$を$p$を用いて表せ．

(3)　周期$1$の周期関数$f(x)$が$0\leqq x\leqq 1$の範囲で

$f(x)={\displaystyle -|x-\frac{1}{2}|+\frac{3}{2}}$

であるとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^n}{e}^{-x}f(x)dx$を求めよ．

【５】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1+e^{-px}}}-ax$が極値をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．ただし，$p$は正の定数で，$e$は自然対数の底である．