1999　東京工業大学　前期MathJax

【１】　正の実数$a\text{，}b\text{，}p$に対して，

$A={(a+b)}^p$と$B=2^{p-1}(a^p+b^p)$

の大小関係を調べよ．

【２】　斜辺の長さが$1$である正$n$角錐を考える．つまり，底面を正$n$角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\cdots {\mathrm{A}}_n\text{，}$頂点を$\mathrm{O}$と表せば$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1=\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2=\cdots =\mathrm{O}{\mathrm{A}}_n=1$である．そのような正$n$角錐のなかで最大の体積をもつものを$C_n$とする．

(1)　$C_n$の体積$V_n$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{V}_n$を求めよ．

【３】　$3$辺の長さが$1\text{，}1\text{，}a$である三角形の面積を，周上の$2$点を結ぶ線分で$2$等分する．それらの線分の長さの最小値を$a$を用いて表せ．

【４】　$2$以上の自然数$n$に対して

${\displaystyle {\int }_0^1}{t}^{2n-1}{e}^{t}dt+({\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{\displaystyle \frac{{}_{2n-1}P_{2n-2k}}{2k+1}})e=(2n-1)!$

を示せ．ここで$e$は自然対数の底である．

【５】　複素平面上の点列${\mathrm{A}}_n\text{（}n\geqq 0\text{）}$が複素数列$a_n+i{b}_n$（$a_n\text{，}{b}_n$は実数，$i$は虚数単位）を表すとする．極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a_{\infty }\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=b_{\infty }$がともに存在するとき，複素数$a_{\infty }+i{b}_{\infty }$を表す点${\mathrm{A}}_{\infty }$を${\mathrm{A}}_n$の極限点ということにする．

　このときつぎの問いに答えよ．

(1)　複素平面上の点列${\mathrm{P}}_n\text{（}n\geqq 0\text{）}$をつぎのように定める．

　${\mathrm{P}}_0$は$0$を表す点とし，${\mathrm{P}}_1$は$1+i$を表す点とする．

　以下$n\geqq 2$に対しては，ベクトル$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_{n-2}{\mathrm{P}}_{n-1}}$を反時計まわりに${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$回転し，長さを${\displaystyle \frac{2}{3}}$倍したベクトルが$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n}$となるように${\mathrm{P}}_n$を定める．${\mathrm{P}}_n$の極限点${\mathrm{P}}_{\infty }$が表す複素数を求めよ．

(2)　点列${\mathrm{Q}}_n\text{（}n\geqq 0\text{）}$はつぎのように定める．

　${\mathrm{Q}}_0$は$0$を表す点とし，${\mathrm{Q}}_1$は$z=x+iy$を表す点とする．

　以下$n\geqq 2$に対しては，ベクトル$\overrightarrow{{\mathrm{Q}}_{n-2}{\mathrm{Q}}_{n-1}}$を反時計まわりに${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$回転し，長さを${\displaystyle \frac{1}{2}}$倍したベクトルが$\overrightarrow{{\mathrm{Q}}_{n-1}{\mathrm{Q}}_n}$となるように${\mathrm{Q}}_n$を定める．${\mathrm{Q}}_n$の極限点${\mathrm{Q}}_{\infty }$と(1)の${\mathrm{P}}_{\infty }$が一致するとき$z$を求めよ．