1999　金沢大学　前期MathJax

【１】　平地を東西にのびる直線道路$l$と，その北側に$3$地点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$があり，それぞれの地点には目じるしが置かれている．

　$l$上の地点$\mathrm{P}$で$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を見ると，直線$\mathrm{AP}$は$l$に垂直で，$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$は直線$\mathrm{AP}$の東側にあり，$\angle \mathrm{APB}=30°\text{，}\angle \mathrm{APC}=60°$であった．$\mathrm{P}$から東へ$100\sqrt{3}$移動した$l$上の地点$\mathrm{Q}$では，$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{A}$が一直線上にあり，$\angle \mathrm{BQP}=30°$であった．$\mathrm{Q}$からさらに東へ移動した$l$上の地点$\mathrm{R}$では，$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{A}$が一直線上にあり，$\angle \mathrm{CRQ}=15°$であった．

　次の問いに答えよ．

(1)　$\cos 15°={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$を示せ．

(2)　$2$地点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}$間の距離$\mathrm{AC}$を求めよ．

(3)　$2$地点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$間の距離の$2$乗${\mathrm{BC}}^2$を求めよ．

【２】　関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+1$について，次の問いにそれぞれ答えよ．

(1)　関数$f(x)$が$x=0$で極小になるとき，定数$a\text{，}b$の満たす条件を求めよ．

(2)　実数$s\text{，}t$が$s\ne 0\text{，}t<s^3+1$を満たすならば，関数$f(x)$が$x=s$で極小値$t$をとるように，定数$a\text{，}b$を，$s$と$t$を用いて定めることができることを示せ．

【３】　$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$は座標平面上のベクトルで，$\overrightarrow{a}=(0,1)\text{，}\overrightarrow{b}=(1,1)\text{，}\overrightarrow{c}=(1,-1)$とする．$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n$とし，各$k$についてベクトル$\overrightarrow{p_k}$はベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$のいずれかとする．次の問いに答えよ．

(1)　$n=2$とする．$\overrightarrow{p_1}+\overrightarrow{p_2}$がとり得るベクトルのうち，異なるものをすべて成分で表せ．

(2)　$n=4$とする．内積$\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{p_1}+\overrightarrow{p_2}+\overrightarrow{p_3}+\overrightarrow{p_4})$がとり得る値のうち，異なるものはいくつあるか．

(3)　$n=5$とする．順序をつけて並べた列$\overrightarrow{p_1}\text{，}\overrightarrow{p_2}\text{，}\overrightarrow{p_3}\text{，}\overrightarrow{p_4}\text{，}\overrightarrow{p_5}$で，条件$\overrightarrow{p_1}+\overrightarrow{p_2}+\overrightarrow{p_3}+\overrightarrow{p_4}+\overrightarrow{p_5}=(4,1)$を満たすものはいくつあるか．

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{ABC}=45°$であり，また辺$\mathrm{BC}$上にある点$\mathrm{D}$は$\mathrm{BD}=1\text{，}\mathrm{CD}=\sqrt{3}-1\text{，}\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{ACB}+15°\text{，}\angle \mathrm{ADB}\geqq 90°$を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　$\sin 15°={\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$を示せ．

(2)　$\angle \mathrm{ACB}$の大きさを求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　絶対値が$1$の複素数${\alpha }_1\text{，}{\alpha }_2\text{，}{\alpha }_3$が${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3=3$を満たすとき，${\alpha }_1\text{，}{\alpha }_2\text{，}{\alpha }_3$を求めよ．

(2)　${\beta }_1\text{，}{\beta }_2\text{，}\gamma$を絶対値が$1$の複素数とし，

$P(z)={\beta }_2{z}^2+{\beta }_{1}z+(\cos 30°+i\sin 30°)$

が${\displaystyle \frac{1}{\gamma }}P(\gamma )=3$を満たすとする．ただし，$i$は虚数単位である．このとき，${\beta }_1\text{，}{\beta }_2\text{，}\gamma$を求め，さらに実数$t$が$0\leqq t\leqq 1$を動くとき，複素数平面上で点$P(\gamma t)$がえがく軌跡を図示せよ．

【３】　$n$を自然数とする．$a$は$a>1$を満たす実数とし，

$f(a)={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_0^1}|a{x}^n-1|dx-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　$f(a)$を求めよ．

(2)　関数$f(a)$の$a>1$における最小値を$b_n$とする．$b_n$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$に対して，$m+1$個の数の積$b_m\cdot b_{m+1}\cdot \cdots \cdot b_{2m}$を$c_m\text{（}m=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．このとき，$\underset{m\to \infty }{\lim }{c}_m$を求めよ．

【４】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$について，次の問いに答えよ．

(1)　$A$の$n$個の積$A^n$を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．

(2)　$a\geqq 0\text{，}b\geqq 0\text{，}c\geqq 0\text{，}d\geqq 0$とする．行列$B=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$が$A^{2}B-BA\text{，}{B}^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$を満たすとき，$B$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$B$に対して，$B{A}^{2}B{A}^{25}B{A}^{1999}$を求めよ．