1999　静岡大学　前期MathJax

【１】　複素数$1+i$を$1$つの解とする実数係数の$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx+c=0\text{(＊)}$について次の問いに答えよ．

(1)　方程式(＊)の実数解を$a$を用いて表せ．

(2)　方程式(＊)と$2$次方程式$x^2-bx+3=0$がただ$1$つの解を共有するとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

【２】　$xy$平面上にある$\mathrm{▵ABC}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ$15\text{，}$$14\text{，}$$13$とする．$2$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の座標を$\mathrm{B}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(14,0)$とし，点$\mathrm{A}$の$y$座標を正とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とするとき，点$\mathrm{O}$の座標を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

(4)　$\mathrm{▵ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

【３】　$n$は与えられた自然数とする．整数$a$に対して和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}|a-k|$を$S(a)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S(a)$を求めよ．

(2)　整数$a$が変化するとき，$S(a)$を最小とする$a$を$n$を用いて表せ．

【４】　$a\text{，}$$b$は$b>a$を満たす実数とする．多項式$f(x)\text{，}$$g(x)$が

$f(x)=x-{\displaystyle {\int }_a^b}(g(t)-{\displaystyle \frac{3}{2}})\mathit{dt}\text{，}$$g(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}$

を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$c={\displaystyle {\int }_a^b}(g(t)-{\displaystyle \frac{3}{2}})\mathit{dt}$とする．$g(x)$を$c$を用いて表せ．

(2)　点$(b,g(b))$において直線$y=f(x)$が曲線$y=g(x)$に接するとき，$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$x>0$のとき，$(x+2)e^{-x}+x-2>0$が成り立つことを示せ．

(2)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{{\displaystyle {\int }_0^x}(1-e^{-t})\mathit{dt}}{x^2}}$の$0<x\leqq 1$における最小値を求めよ．

(3)　$0\leqq x\leqq 1$のとき，$e^{-x}\geqq 1-x+{\displaystyle \frac{x^2}{e}}$が成り立つことを示せ．

【３】　定積分$I_n\text{，}$$J_n$$\text{（}n=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{）}$を

$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{x}^n\cos x\mathit{dx}\text{．}$$J_n={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{x}^n\sin x\mathit{dx}$

とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$n\geqq 1$のとき，$I_n$を$J_{n-1}$で表せ．

(2)　$n\geqq 1$のとき，$J_n$を$J_{n-1}$で表せ．

(3)　次の定積分の値を求めよ．

${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)\cos x\mathit{dx}$

【４】　実数$c$$(\ne {\displaystyle \frac{1}{2}})$に対して，行列$A\text{，}$$B$を次のように定める．

$A={\displaystyle \frac{1}{2c-1}}\left(\begin{array}{cc}c& -c\\ 1-c& c-1\end{array}\right)\text{，}$$B={\displaystyle \frac{1}{2c-1}}(\begin{array}{cc}c-1& c\\ c-1& c\end{array})$

次の問いに答えよ．

(1)　$AB\text{，}$$BA\text{，}$$A^2\text{，}$$B^2$を求めよ．

(2)　(1)の結果を用いて，自然数$n$に対して${(A+cB)}^n$を推定せよ．その推定が正しいことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．