1999　静岡大学　後期MathJax

【１】　$\mathrm{▵ABC}$において，$3$辺の長さを$\mathrm{BC}=a\text{，}$$\mathrm{CA}=b\text{，}$$\mathrm{AB}=c$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$が$2b=a+c$を満たすとき，積$\tan {\displaystyle \frac{A}{2}}\tan {\displaystyle \frac{C}{2}}$の値を求めよ．

(2)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$が$2b=a+c$を満たしながら変化するとき，$2$つの角の和$A+C$を最小にする$\mathrm{▵ABC}$はどのような形の三角形か．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$z$を複素数とする．すべての自然数$n$について，次の等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

$(1-z)(1+z+\cdots +z^{n-1})=1-z^n$

(2)　$n$を自然数とする．複素数$z$の極形式を$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$とするとき，複素数$1-z^n$の実部と虚部を求めよ．

(3)　複素数平面上に，次の規則(＊)に従って，$(n+1)$個の点$z_0\text{．}$$z_1\text{，}\cdots \text{，}$$z_n$（ただし，$n\geqq 2\text{）}$を定める．

$\text{(＊)}\{\begin{array}{l}{z}_0=0\text{，}{z}_1={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i\text{．}\\ |z_{k+1}-z_k|={\displaystyle \frac{1}{2}}|z_k-z_{k-1}|\text{，}\\ \arg (z_{n+1}-z_k)-\arg (z_k-z_{k-1})=-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\end{array}$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{）}$

このとき，$z_n$の実部と虚部を求めよ．

【３】　平面上の与えられたベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$が$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=1\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\geqq 0\text{，}$$\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{b}$を満たすとき，$c=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$として次の問いに答えよ．

(1)　$c<1$を示せ．

(2)　実数$x$に対して，$(x\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (x\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$を計算せよ．

(3)　関数$f(x)=|x\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|-x$の導関数$f^{\prime }(x)$は，$f^{\prime }(x)<0$を満たすことを示せ．

(4)　$x$の方程式$|x\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=x+k$が，$x\geqq 0$の範囲で解をもつための実数$k$の満たすべき条件を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$x>0$で定義された関数$f(x)$は連続な導関数$f^{\prime }(x)$をもち，$f^{\prime }(x)\geqq 0$を満たすとする．

(ⅰ)　$0<a<b$と整数$k$に対して

${\displaystyle {\int }_a^b}{f}^{\prime }(x)\cos kx\mathit{dx}\leqq f(b)-f(a)$

が成り立つことを示せ．

(ⅱ)　自然数$m\text{，}$$n$に対して

${\displaystyle {\int }_{2m\pi }^{2(m+1)\pi }}f(x)\sin nx\mathit{dx}\leqq 0$

が成り立つことを示せ．

(2)　(1)の結果を用いて，自然数$n$に対して

${\displaystyle {\int }_{2\pi }^{4\pi }}(\log x)\cos nx\mathit{dx}\leqq 0$

が成り立つことを示せ．

【５】　正数$t$に対して，$xy$平面上の曲線（直線も含む）

$C_{\mathrm{t}}\text{：}(2t^2-5t+2)x^2+2t{y}^2=2t^2-5t+2$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$C_t$は$t$の値と無関係に定点を通る．その定点をすべて求めよ．

(2)　$C_t$はどのような種類の曲線（直線も含む）を表すか．その値によって分類せよ．

(3)　$t$が$t>0$の範囲で変化するとき，$C_t$の存在範囲を図示せよ．