1999　高知大学　前期MathJax

【１】　三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=1\text{，}\mathrm{OB}=2\text{，}\angle \mathrm{AOB}=135°$とする．辺$\mathrm{OA}$の垂直二等分線と，辺$\mathrm{OB}$の垂直二等分線との交点を$\mathrm{P}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OP}}$をそれぞれ，$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{p}$として，次の問に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{p}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{p}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【２】　次の問に答えよ．

(1)　$3\theta =2\theta +\theta$であることから，加法定理を使って次の等式を示せ．

$\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$

(2)　$0°\leqq \theta <360°$のとき，次の方程式を満たす$\theta$の値を求めよ．

$\sin 3\theta =2\cos 2\theta +1$

【３】　不等式

${\log }_{\frac{1}{2}}(1-x^2)+2\leqq {\log }_{\frac{1}{4}}(x^2-2x+1)+{\log }_{\frac{1}{8}}{x}^3$

を満たす$x$の範囲を求めよ．

【４】　複素数$z$について${\displaystyle \frac{z}{z-\sqrt{2}}}$は虚軸上にあるとする．次の問に答えよ．

(1)　$z$はどのような図形上にあるか．

(2)　このような$z$のうち${\displaystyle \frac{1+i}{\sqrt{2}}}$からの距離が最大となるものを求めよ．

(3)　(2)で求めた$z$について，$1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7$を計算せよ．

【１】　$C$は中心が$(4,1)$で半径が$1$の円とする．$C$上の点$\mathrm{Q}(4+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}})$における$C$の接線を$l$とし，$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{P}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$l$の方程式および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$と点$(4,0)$を$3$頂点とする三角形の内部および周を$D$とする．点$(x,y)$が$D$上を動くとき，${\displaystyle \frac{y-a}{x}}$（$a$は定数）の最大値を求めよ．

【３】　$f(x)$は微分可能な関数で，$f(-x)=f(x)+2x\text{，}{f}^{\prime }(1)=1\text{，}f(1)=0$を満たすものとする．次の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(-1)$の値を求めよ．

(2)　$\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)+f(-x)-2}{x-1}}$の値を求めよ．

【４】　関数$f(x)$は微分可能で，$f^{\prime }(x)$は連続とし，$f(x)$は関係式

$f(x)+{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt=\sin x$

を満たしているとする．次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$と$f^{\prime }(x)$との間に成り立つ関係式を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{d}{dx}}(e^{x}f(x))$を指数関数と三角関数で表せ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^x}{e}^t(\sin t+\cos t)dt={\displaystyle {\int }_0^x}{e}^t(\sin t-\cos t)dt+e^x(\sin x+\cos x)-1$を示せ．

(4)　${\displaystyle {\int }_0^x}{e}^t\cos tdt$を求めよ．

(5)　$f(x)$を求めよ．

【６】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}x& 1\\ -4& y\end{array}\right)$は，ある自然数$n$に対して$A^n=O$になるとする．ただし$O$は零行列である．次の問に答えよ．

(1)　$xy+4=0$を示せ．

(2)　任意の自然数$m$に対して$A^{m+1}={(x+y)}^{m}A$となることを示せ．

(3)　$x\text{，}y$を求めよ．