1999　佐賀大学　前期

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$において，その面積を$S\text{，}$$\mathrm{BC}=a\text{，}$$\mathrm{CA}=b\text{，}$$\mathrm{AB}=c\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}=\theta \text{，}$$a+b+c=2l$とおく．

　次の等式が成り立つことを示せ．

(1)　$S={\displaystyle \frac{1}{2}}bc\sin \theta$

(2)　$S^2=l(l-a)(l-b)(l-c)$

【２】　袋の中に赤球$3$個，白球$2$個，黒球$1$個が入っている．この袋から$2$個の球を同時に取り出す．次の問いに答えよ．

(1)　少なくとも$1$個が赤球である確率を求めよ．

(2)　赤球$1$個につき$1$点，白球$1$個につき$2$点，黒球$1$個につき$3$点もらえる．このとき，もらえる合計点の期待値を求めよ．

【３】　$a>0$とする．次の問いに答えよ．

(1)　放物線$y=x^2$上の点$(a,a^2)$における接線の方程式を求めよ．

(2)　(1)で求めた接線と点$(a,a^2)$において接する円で，中心が$x$軸上にあるものと，$y$軸上にあるものをそれぞれ求めよ．

(3)　(2)で求めた$2$つの円の半径が等しくなる$a$の値を求めよ．

【４】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$x_1\text{．}$$x_2$は定数で$a\ne 0\text{，}$$x_1\ne x_2$とする．$2$次関数$f(x)=a{x}^2+bx+c$について次の問いに答えよ．

(1)　$p>0\text{，}$$q>0\text{，}$$p+g=1$のとき$pf(x_1)+qf(x_2)$と$f(p{x}_1+q{x}_2)$の大小関係を調べよ．

(2)　$p\text{，}$$q$が$p>0\text{，}$$q>0\text{，}$$p+g=1$をみたしながら動くとき．$|pf(x_1)+qf(x_2)-f(p{x}_1+q{x}_2)|$が最大となる$p\text{，}$$q$の値をそれぞれ$p_0\text{，}$$q_0$とする．

　放物線$y=f(x)$上の点$(p_0{x}_1+g_0{x}_2,f(p_0{x}_1+q_0{x}_2))$における接線の傾きを求めよ．

【５】　点$\mathrm{A}(\alpha )$を複素数平面上の原点$\mathrm{O}$と異なる点とする．点$\mathrm{A}(\alpha )$を原点$\mathrm{O}$のまわりに$120\mathrm{°}$回転した点を$\mathrm{B}(z_1)$とする．この点$\mathrm{B}(z_1)$を点$\mathrm{A}(\alpha )$のまわりに$60\mathrm{°}$回転した点を$\mathrm{C}(z_2)$とし，また$\mathrm{C}(z_2)$を点$\mathrm{B}(z_1)$のまわりに$60\mathrm{°}$回転した点を$\mathrm{D}(z_3)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$z_1$および$2$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(z_1)$間の距離$\mathrm{AB}$を$\alpha$を用いて表せ．

(2)　$z_2\text{．}$$z_3$を$\alpha$を用いて表せ．

【６】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$次関数$y=x^2+2x-4$のグラフを$x$軸方向に$p\text{，}$$y$軸方向に$q$平行移動して，$2$点$\mathrm{A}$$(2,3)\text{，}$$\mathrm{B}$$(4,3)$を結ぶ線分と異なる$2$点で交わるようにしたい．点$(p,q)$が存在する領域を求め，図示せよ．

(2)　(1)で求めた領域の面積を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$a=\tan {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\text{，}$$b=\tan {\displaystyle \frac{\beta }{2}}$のとき，$\tan {\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}$を$a\text{，}$$b$で表せ．

(2)　$0\mathrm{°}\leqq \alpha <90\mathrm{°}\text{，}$$0\mathrm{°}\leqq \beta <90\mathrm{°}$のとき，以下の不等式を証明せよ．また，等号が成立する場合を調べよ．

(ⅰ)　${\displaystyle \frac{\tan \alpha +\tan \beta }{2}}\geqq \tan {\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}$

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{3\tan \alpha +\tan \beta }{4}}\geqq \tan {\displaystyle \frac{3\alpha +\beta }{4}}$

【２】　空間の異なる$3$点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{O}$とする．点$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{0}$でない方向ベクトル$\overrightarrow{u}$の直線$l$と，$l$上にない点$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{0}$でない方向ベクトル$\overrightarrow{v}$の直線$m$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{0B}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$l$上の点$\mathrm{X}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{u}$と表したとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BX}}$の長さ$\left|\overrightarrow{\mathrm{BX}}\right|$を与えられたベクトルと$s$で表せ．

(2)　$\mathrm{X}$が$l$上を動くとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{BX}}\right|$の最小値と，最小値を与える点${\mathrm{X}}_0$の位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{X}}_0}$を与えられたベクトルで表せ．

(3)　$m$上の点$\mathrm{Y}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{OY}}=\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{v}$とおく．$\mathrm{X}$が$l$上を，$\mathrm{Y}$が$m$上を動くとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{XY}}\right|$が最小となるような位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OX}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OY}}$を求めよ．

【３】　複素数$z$に対して$w={\displaystyle \frac{z-i}{z+i}}$とおくとき，以下の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)　$z=x+iy\text{，}$$w=u+iv$とおくとき，$u$と$v$を$x\text{，}$$y$の関数として表せ．

(2)　$z$が複素数平面の原点を中心とした半径$1$の円周上（ただし$z=-i$を除く）を動くとき，$w$の描く図形を求めよ．

(3)　$z$が複素数平面内の実軸上を動くとき，$w$はどのような図形を描くか．

【４】　二等辺三角形$\mathrm{ABC}$の底辺$\mathrm{BC}$の長さを$a\text{，}$$\mathrm{\angle B}=\mathrm{\angle C}=\theta \text{，}$$0\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}$とする．二等辺三角形$\mathrm{ABC}$に内接する正方形${\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_1^{\prime }{\mathrm{C}}_1^{\prime }{\mathrm{C}}_1$を，辺${\mathrm{B}}_1^{\prime }{\mathrm{C}}_1^{\prime }$は辺$\mathrm{BC}$上に，${\mathrm{B}}_1$は辺$\mathrm{AB}$上に，${\mathrm{C}}_1$は辺$\mathrm{AC}$上にあるようにとる．次に，二等辺三角形$\mathrm{A}{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$に内接する正方形を同様に作図して${\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_2^{\prime }{\mathrm{C}}_2^{\prime }{\mathrm{C}}_2$とする．以下同様にしてこの作図を順次繰り返し，正方形の列$\{{\mathrm{B}}_n{\mathrm{B}}_n^{\prime }{\mathrm{C}}_n^{\prime }{\mathrm{C}}_n)$を作る．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　正方形${\mathrm{B}}_n{\mathrm{B}}_n^{\prime }{\mathrm{C}}_n^{\prime }{\mathrm{C}}_n$の面積$S_n$を求めよ．

(2)　$S={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$を求めよ．

(3)　$S$が二等辺三角形$\mathrm{ABC}$の面積の${\displaystyle \frac{1}{2}}$となるとき，二等辺三角形$\mathrm{ABC}$はどのようになるか．

【２】　数列$\{a_n\}$が$a_1=2$と漸化式${\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}={\displaystyle \frac{3}{a_n}}+1$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で与えられたとき，以下の問いに答えよ．

(1)　一般項$a_n$を求めよ．

(2)　自然数$m$に対して${\displaystyle \sum _{n=1}^m}{\displaystyle \frac{1}{a_n}}$を求めよ．

【３】　$k$を実定数とする．放物線$y=x^2-2x+4$と直線$y=kx$について以下の問いに答えよ．

(1)　この放物線と直線が異なる$2$点で交わるとき，$k$の値のとり得る範囲を求めよ．

(2)　放物線と直線の異なる共有点を原点$\mathrm{O}$に近い方から$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．原点$\mathrm{O}$から$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$までの距離の比が$\mathrm{OP}:\mathrm{OQ}=1:3$となる$k$の値を求めよ．

(3)　(2)のとき，放物線と直線で囲まれた第$1$象限内の図形の面積を求めよ．