1999　東京都立大　前期MathJax

【１】　$y=x^2$のグラフ$\Gamma$と，$b>a^2$を満たす点$\mathrm{A}(a,b)$が与えられている．点$\mathrm{A}$を通る傾き$m$の直線を$l\text{，}\Gamma$と$l$との交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とし，$\Gamma$と$l$とで囲まれた図形の面積を$S(m)$とおく．

(1)　$S(m)$を$a\text{，}b\text{，}m$を用いて表せ．

(2)　$S(m)$が最小値をとるとき，$\mathrm{AP}=\mathrm{AQ}$が成り立つことを示せ．

【２】　$3$角錐$\mathrm{OABC}$は，$1$辺の長さが$1$の正$3$角形$\mathrm{ABC}$を底面とし，高さが$1\text{，}$頂点$\mathrm{O}$が$▵\mathrm{ABC}$の重心の真上にあるものとする．

(1)　辺$\mathrm{OA}$の長さを求めよ．

(2)　$3$角錐$\mathrm{OABC}$の側面上で，$\mathrm{A}$から出発して$\mathrm{OB}$上の点を通過して$\mathrm{C}$に到る最短距離を求めよ．

(3)　$3$角錐$\mathrm{OABC}$の側面上で，$\mathrm{A}$から出発して$\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$上の点を通過して$\mathrm{A}$に戻る最短距離を求めよ．

【３】　$3$次関数$f(x)=x^3+p{x}^2+qx$が$x=a$で極大値をとり，かつ$f(a)=f(1)$を満たすとする．このとき，$p\text{，}q$の満たすべき条件を求め，点$(p,q)$が存在する範囲を図示せよ．

【４】　ある会社が$2$種類の製品$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を製造している．製品$\mathrm{A}$を$1$トン生産するには，$2$トンの材料，$4$時間の労働及び$3$時間の機械の稼働を必要とし，製品$1$トン当りの利益は$20000$円であり，製品$\mathrm{B}$を$1$トン生産するには，$5$トンの材料，$3$時間の労働及び$1$時間の機械の稼働を必要とし，製品$1$トン当りの利益は$10000$円である．材料，労働，機械の稼働が一定の割合で増加すると，生産高及び利潤が比例的に増大するものとし，材料，労働，機械の稼働の最大使用限度が，それぞれ$300$トン，$240$時間，$150$時間であるとき，各製品を何トンずつ生産すれば利益が最大になるか．

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}b=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$に対して$L_1=A\text{，}{L}_n=[L_{n-1},B]\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．但し，$[C,D]=CD-DC$である．

(1)　$L_2\text{，}{L}_3$を求めよ．

(2)　$n$が偶数，奇数の場合に応じて$L_n$を求めよ．

(3)　ある奇数$n\text{（}\geqq 3\text{）}$に対して$L_n=L_2$が成り立つとき，$A$が満たすべき条件を求めよ．このとき，更に$A^2=A$を満たすような$A$を求めよ．

【２】　$y=x^2$のグラフを$\Gamma$とする．$\Gamma$上の点$\mathrm{P}(t,t^2)\text{（}t>0\text{）}$における$\Gamma$の接線$l$と点$\mathrm{P}$において直交する直線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{A}$とし，$l$に関して$\mathrm{A}$と対称な位置にある点を$\mathrm{B}$とする．

(1)　点$\mathrm{B}$の座標を$t$で表せ．

(2)　$t\text{（}t>0\text{）}$が変わるとき，点$\mathrm{B}$が描く軌跡と$y$軸とで囲まれる図形の面積を求めよ．

【３】　円$x^2+y^2=1$上の$2$点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{PQ}$の長さが$\sqrt{2}$であるとする．$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がこの条件を満たしながら動くとき，$2$点$\mathrm{A}(3,0)\text{，}\mathrm{B}(-4,0)$に対して，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{QB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{QB}}$の最大値及びそのときの$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

【１】　不等式

$-x^2+a<y<x^4-3x^2+1\cdots$(＊)

に関して，次の各条件が成り立つような$a$の範囲を求めよ．

(1)　(＊)が$x$の値にかかわらずに成り立つような$y$が存在する．

(2)　$x$がどのように与えられても，その$x$に対して(＊)が成り立つような$y$が存在する．

(3)　$y$がどのように与えられても，その$y$に対して(＊)が成り立つような$x$が存在する．

【２】　$x$に関する多項式$f_n(x)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を

$f_0(x)=2\text{，}{f}_1(x)=x\text{，}{f}_{n+2}(x)=x{f}_{n+1}(x)-f_n(x)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．

(1)　$f_2(x)\text{，}{f}_3(x)$を求めよ．

(2)　$f_n(2)\text{，}{f}_n(-1)$はそれぞれ$n$について周期的に変化することを示し，$f_n(2)\text{，}{f}_n(-1)$の値を求めよ．

(3)　$f_n(x)+f_{n+1}(x)+f_{n+2}(x)$を${(x+1)}^2(x-2)$で割った余りを求めよ．

【３】(1)　$3$個のサイコロを投げるとき，出た目の数を辺の長さとする$3$角形が存在する確率を求めよ．

(2)　$3$個のサイコロを$2$回投げるとき，出た目の数を辺の長さとする$3$角形が$2$回とも存在して，それらが相似になるが合同にはならない確率を求めよ．