1999　学習院大学　文学部MathJax

【１】　点$\mathrm{P}$は第$1$象限内にあって放物線$y=1-x^2$上を動く．$\mathrm{P}$と点$(-1,0)$を結ぶ線分が$y$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とし，原点を$\mathrm{O}$とするとき，$3$角形$\mathrm{OPQ}$の面積の最大値とそれを与える$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c$は実数とする．$3$次方程式

$x^3+a{x}^2+bx+c=0$

が$1$つの実数解と$2$つの純虚数解をもつための必要十分条件は

$ab=c\text{かつ}b>0$

であることを示しなさい．ただし，純虚数とは実数部分が$0$で虚数部分が$0$でない複素数をいう．

【３】　$a$を正の数とする．平面上で，$y=x^2$で表される放物線を$C$とし，$C$上の点$(t,t^2)$における$C$の接線を$y$軸方向に$a$だけ平行移動した直線を$l$とする．

(1)　$C$と$l$で囲まれる部分の面積を求めなさい．

(2)　$C$の頂点が$l$の下側にあるための$t$の条件を求めなさい．

【４】　$1$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれた$9$枚のカードが袋に入っている．その中から$3$枚のカードを取り出し，書かれた数のなかで，$2$番目に大きい数を$X$とする．

(1)　$X=2$となる確率を求めなさい．

(2)　$X=5$となる確率を求めなさい．

(3)　$X$の期待値を求めなさい．