1999　慶応義塾大学　医学部MathJax

【１】　問(1)$\cdots$(5)では，文章に埋める適当な数または式を解答用紙の所定の空欄に記しなさい．また，問(6)の解答は解答欄の所定の場所に記しなさい．

　だ円${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$上の点$\mathrm{P}(a,b)$におけるこのだ円の接線を$l$とする．ただし，$b>0$とする．このだ円の$2$つの焦点を$\mathrm{F}$$(f,0)\text{，}$${\mathrm{F}}^{\prime }$$(-f,0)$とする．ただし，$f>0$とする．また，接線$l$と直線$\mathrm{PF}\text{，}\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }$のなす角をそれぞれ$\theta \text{，}{\theta }^{\prime }$とする．ただし，$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$かつ，$0\leqq {\theta }^{\prime }\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．以下のようにして$\theta ={\theta }^{\prime }$であることを証明しよう．

(1)　$f$の値を求めると，$f=\boxed{\text{(あ)}}$である．

(2)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PF}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }}$の大きさを$a$のみの$1$次式で表すと，$\left|\overrightarrow{\mathrm{PF}}\right|=\boxed{\text{(い)}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }}\right|=\boxed{\text{(う)}}$である．

(3)　接線$l$の方程式は，$\boxed{\text{(え)}}x+\boxed{\text{(お)}}y=1$である．ただし，(え)は$a$のみの一次式で，(お)は$b$のみの一次式で表しなさい．

(4)　接線$l$上の点$\mathrm{Q}$であって，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$の$x$成分が$1$であるものの座標を$a\text{，}b$で表すと，$\mathrm{Q}=\mathrm{Q}(\boxed{\text{(か)}},\boxed{\text{(き)}})$である．

(5)　ベクトルの内積$n=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PF}}\text{，}{n}^{\prime }=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }}$をそれぞれ$a$のみの$1$次式で表すと，$n=\boxed{\text{(く)}}\text{，}{n}^{\prime }=\boxed{\text{(け)}}$である．

(6)　$\cos \theta =\cos {\theta }^{\prime }$であることを証明することによって，$\theta ={\theta }^{\prime }$であることを証明しなさい．

【２】　問(1)，(2)では文章の空欄に埋める適当な数または式を解答用紙の所定の空欄に記しなさい．残りの部分の解答は解答欄の所定の場所に記しなさい．

　関数$F(x)$が次の性質(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を満たしている．

(ⅰ)　$F(x)$の定義域は実数全体で，その値は常に正である．

(ⅱ)　任意の実数$x_1$と任意の実数$x_2$にたいし，$F(x_1+x_2)=2F(x_1)F(x_2)$が成り立つ．

(ⅲ)　関数$G(x)$を$Gx)=\log F(x)$で定義すると，$G(x)$は$x=3$で微分可能で$G^{\prime }(3)=G(1-\log 2)$である．

　以下の問に答えなさい．

(1)　$F(0)=F(0+0)$に注意して$F(0)$の値を求めると，$F(0)=\boxed{\text{(あ)}}$である．

(2)　一般に関数$f(x)$が$x=a$で微分可能であるとは，$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\boxed{\text{(い)}}$が存在する事（右辺の極限値が存在すること）であると定義される．

(3)　任意の実数$a$に対して$G(x)$は$x=a$で微分可能であることを証明しなさい．

(4)　$G(x)$を求めなさい．

(5)　$F(x)$を求めなさい．

【３】　$a\text{，}b\text{，}c$を実数の定数とする．$i=\sqrt{-1}$を虚数単位として，複素数$z$を未知数とする方程式

$F(z)=z^3+ai{z}^2+bz+ci=0$

の解のいくつかの性質に関して次の問に答えなさい．

(1)　$z=\alpha$が$F(z)=0$の解ならば，$z=-\bar{\alpha }$も$F(z)=0$の解であることを証明しなさい．ただし，$\bar{\alpha }$は$\alpha$の共役複素数とする．$\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}\text{，}\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\overline{z_2}$は用いてよい．

(2)　$z=r$が$F(z)=0$の$1$つの解で，$r$が実数であるとする．$c\ne 0$とするとき，$z=-r\text{，}-ai$も$F(z)=0$の解であることを証明しなさい．

(3)　実数を係数とする$3$次方程式は，少なくとも$1$つ実数解を持つことを用いて，方程式$F(z)=0$は少なくとも$1$つの純虚数の解を持つことを証明しなさい．

(4)　問(3)を用いて，方程式$z^3+i{z}^2+z+10i=0$の$3$つの解を求めなさい．