1999　上智大学　法(法律)学部MathJax

【１】　$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$とする．

(1)　$f(x)$は$x=-1$で極値$8$をとり，また$y=f(x)$のグラフ上の点$(0,c)$における接線が点$(1,-6)$を通るならば，$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}\text{，}c=\boxed{\text{ウ}}$である．

(2)　$f(x)$が関係式

$f(x)={\displaystyle {\int }_1^x}(3t^2-6t-x)dt$

をみたすならば，$a=\boxed{\text{エ}}\text{，}b=\boxed{\text{オ}}\text{，}c=\boxed{\text{カ}}$である．

【２】　以下の$\boxed{\text{キ}}\text{，}\boxed{\text{ク}}\text{，}\boxed{\text{ケ}}\text{，}\boxed{\text{コ}}\text{，}\boxed{\text{サ}}$には選択肢$\mathrm{A}$より，$\boxed{\text{シ}}$には選択肢$\mathrm{B}$より正しいものを$1$つ選び，その番号を答えよ．

(1)　$x\text{，}y$は整数とする．「$x+y+xy$が偶数である」ことは「$x\text{，}y$がともに偶数である」ための$\boxed{\text{キ}}$．

「$x$と$y$の最大公約数が$1$である」ことは「$2x$と$y$の最大公約数が$2$である」ための$\boxed{\text{ク}}$．

(2)　$x\text{，}y$は実数とする．「$x+y\text{，}{x}^2+y^2$がともに有理数である」ことは「$x\text{，}y$がともに有理数である」ための$\boxed{\text{ケ}}$．

「$x^3+y^3$が正の数である」ことは「$x+y$が正の数である」ための$\boxed{\text{コ}}$．

(3)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を実数を要素とする集合とする．「$\mathrm{A}$の各要素$a$に対して$\mathrm{B}$の要素$b$が存在して$a<b$となる」ことは「$\mathrm{B}$の要素$b$が存在して$\mathrm{A}$のすべての要素$a$に対して$a<b$となる」ための$\boxed{\text{サ}}$．

(4)　命題「$x\text{，}y$がともに整数ならば$x+y$は整数である」の対偶は$\boxed{\text{シ}}$．

選択肢$\mathrm{A}$

1.　必要十分条件である

2.　必要条件であるが十分条件ではない

3.　十分条件であるが必要条件ではない

4.　必要条件でも十分条件でもない

選択肢$\mathrm{B}$

1.　「$x+y$が整数でないならば$x\text{，}y$はともに整数でない」

2.　「$x+y$が整数でないならば$x\text{，}y$の一方のみが整数でない」

3.　「$x+y$が整数でないならば$x\text{，}y$の一方のみが整数でない」

4.　「$x+y$が整数ならば$x\text{，}y$はともに整数である」

5.　「$x\text{，}y$がともに整数でないならば$x+y$は整数でない」

6.　「$x\text{，}y$の一方のみが整数でないならば$x+y$は整数でない」

7.　「$x\text{，}y$の少なくとも一方が整数でないならば$x+y$は整数でない」

【３】　実数$x$に対して$x$以下の最大の整数を$[x]$で表す．たとえば$[\sqrt{2}]=1\text{，}[-1.3]=-2$である．

(1)　$[{\displaystyle \frac{1}{3}}x+1]=-2$をみたす$x$の範囲は

$\boxed{\text{ス}}\leqq x<\boxed{\text{セ}}$

である．

(2)　$[{\displaystyle \frac{1}{6}}x]=[{\displaystyle \frac{1}{2}}x+1]$をみたす$x$について考える．$[{\displaystyle \frac{1}{6}}x]=[{\displaystyle \frac{1}{2}}x+1]=k$とおく．$[{\displaystyle \frac{1}{6}}x]=k$より

$\boxed{\text{ソ}}k+\boxed{\text{タ}}\leqq x<\boxed{\text{チ}}k+\boxed{\text{ツ}}\cdots \text{①}$

であり，また$[{\displaystyle \frac{1}{2}}x+1]=k$より

$\boxed{\text{テ}}k+\boxed{\text{ト}}\leqq x<\boxed{\text{ナ}}x+\boxed{\text{ニ}}\cdots \text{②}$

である．$x$の範囲$\text{①}\text{，}\text{②}$が共通部分を持つのは$k=\boxed{\text{ヌ}}$のときのみであるから，$[{\displaystyle \frac{1}{6}}x]=[{\displaystyle \frac{1}{2}}x+1]$をみたす$x$の範囲は

$\boxed{\text{ネ}}\leqq x<\boxed{\text{ノ}}$

である．