1999　上智大学　理工（機械・化学）学部2月12日実施MathJax

【１】　「方程式$y^2+2y=x^4+4x^3+5x^2-3$をみたす整数の列の組$(x,y)$（以下，整数解と呼ぶ）をすべて求めよ」という問題を解くことを考える．

　まず，両辺に定数$\boxed{\text{ア}}$を加えると，その結果得られる左辺は整式の平方で表せることに注意する．

　次に，$|x|$が十分大きいとき

${(x^2+\boxed{\text{イ}}x)}^2<x^4+4x^3+5x^2-3+\boxed{\text{ア}}<{(x^2+\boxed{\text{イ}}x+1)}^2$

が成り立つ．この不等式をみたす整数$x$の範囲は$x\leqq \boxed{\text{ウ}}$または$\boxed{\text{エ}}\leqq x$である．上の左辺の整式と右辺の整式は，$x$が整数なら連続する整数の平方である．従って，その間に整数の平方で表せる数はない．

　一方，もとの方程式の左辺に$\boxed{\text{ア}}$を加えたものは，整数を係数とするある整式の平方になっていたから，整数解に対しては，ある整数の平方になっていなくてはならない．

　これは矛盾するから，結局$x\leqq \boxed{\text{ウ}}$または$\boxed{\text{エ}}\leqq x$の範囲に整数解はないことになる．

　以上の考察のもとに，すべての整数解を求めると，整数解は$\boxed{\text{オ}}$組あり，それらの解のうち絶対値の和$|x|+|y|$が奇数になるものは$\boxed{\text{カ}}$組ある．

【２】(1)　$x$を$-1$以外の実数，$n$を自然数とし

$S_n(x)=1+\left({\displaystyle \frac{x}{1+x}}\right)+{\left({\displaystyle \frac{x}{1+x}}\right)}^2+\cdot +{\left({\displaystyle \frac{x}{1+x}}\right)}^n$

とおく．$n\to \infty$のとき，$S_n(x)$が収束するための必要十分条件を$x>a$で表すと$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$である．$x>a$のとき，$S_n(x)$の$n\to \infty$での極限を$S(x)$とおく．$x>a$の範囲で$x\to \infty$とすると，$S(x)$は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$に収束する．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{(1+2+3+\cdots +n)}^5}{{(1+2^4+3^4+\cdots +n^4)}^2}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$

(3)

$f_1(x_1)=x_1+{\displaystyle \frac{4}{x_1}}$

$f_2(x_1,x_2)=x_2+{\displaystyle \frac{4f_1(x_1)}{x_2}}$

$\cdots$

$f_n(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=x_n+{\displaystyle \frac{4f_{n-1}(x_1,x_2,\cdots ,x_{n-1})}{x_n}}$

とし，$x_1>0\text{，}{x}_2>0\text{，}\cdots \text{，}{x}_n>0$の範囲での$f_n(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$の最小値を$M_n$とする．$M_1=\boxed{\text{ス}}$であり，$n\geqq 2$のとき$M_n$は漸化式

$\log M_n=\log \boxed{\text{セ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\log M_{n-1}$

で計算できる．$n\to \infty$のとき，$M_n$は$\boxed{\text{チ}}$に収束する．

【３】　放物線$y=x^2$と点$(0,a)\text{，}a>1$を中心とする半径$1$の円が接しているとすると，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$である．この円の外部で円と放物線とで囲まれた図形$F$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}-{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ヌ}}}}$である．また図形$F$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\pi$である．さらに，この回転体を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}\sqrt{\boxed{\text{フ}}}\pi$である．

【４】　右図の$\mathrm{A}$から出発して右まわりに，コインを$1$回投げるたびに表が出たら$2$コマ，裏が出たら$1$コマ進む，というゲームを考える．

(1)　$n$回コインを投げたあとに$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$に止まる確率をそれぞれ$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$とすると

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}{b}_n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}{c}_n$

であるので，

$a_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}}{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}}}\right)}^{n-1}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}$

となる．よって，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}}}{\boxed{\text{リ}}}}$である．

(2)　$n$回コインを投げたあとに初めて$\mathrm{A}$に止まる確率を$p_n$とすると，$n\geqq 2$のときには

$p_n={\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ル}}}{\boxed{\text{レ}}}}\right)}^{n-1}$

となる．初めて$\mathrm{A}$に止まるまでにコインを投げる回数の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ロ}}}{\boxed{\text{ワ}}}}$である．