2000　埼玉大学　前期(経済,教育学部)MathJax

【１】

(1)　

$x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}}$

とする．このとき

$xy\text{，}x+y\text{，}{x}^3+y^3$

の値をそれぞれ求めよ．

【１】

(2)　$0$でない$4$つの数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$に対し，

${\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^a={\left({\displaystyle \frac{5}{3}}\right)}^b={\left({\displaystyle \frac{6}{5}}\right)}^c={\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^d$

が成り立つとき

${\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{d}}$

となることを示せ．

【２】　$1$辺の長さが$1$の正$12$角形の頂点から$3$つの頂点を選び$3$角形を作る．

(1)　少なくとも$1$つの辺の長さが$1$である$3$角形の内，互いに合同でないものは全部で何種類あるか？

(2)　互いに合同でない$3$角形は全部で何種類あるか？

【３】　$4$角形$\mathrm{ABCD}$の対角線の交点$\mathrm{O}$に対し，$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}=2\text{，}\mathrm{OB}=1\text{，}\mathrm{OD}=3$とする．

(1)　ベクトルの内積の和

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$

を求めよ．

(2)　直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{CD}$が垂直のとき，$4$角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ．

【４】(1)　$a\text{，}b$は

$a^2+b^2=1\text{，}a\geqq 0\text{，}b\geqq 0\cdots \text{①}$

を満たす定数とする．

$I={\displaystyle {\int }_0^1}(|x-a|+|x-b|)dx$

の値を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$が条件$\text{①}$を満たしながら動くとき，$I$の最大値，最小値を求めよ．