2000　千葉大学　前期　教育学部数学I・AMathJax

【１】　放物線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-1,1)\text{，}\mathrm{B}(2,4)$をとる．この放物線上を点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで動く点$\mathrm{P}$がある．このとき，$\angle \mathrm{APB}=90°$となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　${(n+1)}^2$が$7$の倍数となる自然数$n$を$7$で割った余りを求めよ．

(2)　${(n+1)}^2$が$7$の倍数となる$100$以下の自然数$n$の和を求めよ．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$において，

• $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1\text{，}$
• $\angle \mathrm{A}=36°\text{，}$
• $\angle \mathrm{ABC}$の$2$等分線と$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．

(1)　線分$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．

(2)　$\cos 36°$の値を求めよ．

【４】　座標平面上の点$\mathrm{P}$は，原点$\mathrm{O}$を出発して，サイコロを$1$回投げるごとに，

• $1$か$2$の目が出ると$x$軸の正の方向に$1$進み，
• $3$か$4$の目が出ると$x$軸の負の方向に$1$進み，
• $5$か$6$の目が出ると$y$軸の正の方向に$1$進む

ものとする．

(1)　サイコロを$3$回投げたときに，点$\mathrm{P}$が点$(1,0)$にいる確率を求めよ．

(2)　サイコロを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$の$y$軸からの距離の期待値を求めよ．