2000　東京医科歯科大学　前期MathJax

【１】　箱の中に$2$枚のカードが入っていて，$1$枚には複素数$1+i$が，他の$1$枚には${\displaystyle \frac{1-i}{2}}$が記入してある（$i$は虚数単位）．この箱からランダムに$1$枚のカードを取り出し，カードに記された複素数を記録した後にカードを元の箱に戻す．この操作を難度も繰り返し，第$n$回目の操作で記録された複素数を$u_n$とする．$u_1$から$u_n$までの積$z_n=u_1{u}_2\cdots u_n$に関して以下の確率を求めよ．

(1)　$z_4=1$となる確率．

(2)　$|z_{10}|<6$となる確率．

(3)　$n$が偶数のとき，$z_n$が虚数となる確率．

【２】　座標平面上にベクトル$\overrightarrow{a}=(2,1)\text{，}\overrightarrow{b}=(1,4)\text{，}\overrightarrow{c}=(2,3)\text{，}\overrightarrow{d}=(3,3)$が与えられている．以下のそれぞれについて，点$\mathrm{P}$が動く領域を座標平面上に図示せよ．

(1)　実数$r\text{，}s$が${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq r+s\leqq 1\text{，}r\geqq 0\text{，}s\geqq 0$を満たしながら動くとき，ベクトル$\overrightarrow{p}=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}$を位置ベクトルとする点$\mathrm{P}\text{．}$

(2)　実数$r\text{，}s\text{，}t$が$r+s+t=1\text{，}r\geqq 0\text{，}s\geqq 0\text{，}t\geqq 0$を満たしながら動くとき，ベクトル$\overrightarrow{p}=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}-t\overrightarrow{c}$を位置ベクトルとする点$\mathrm{P}\text{．}$

(3)　実数$r\text{，}s\text{，}t\text{，}u$が$1\leqq r+s+t+u\leqq 2\text{，}r\geqq 0\text{，}s\geqq 0\text{，}t\geqq 0\text{，}u\geqq 0$を満たしながら動くとき，ベクトル$\overrightarrow{p}=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}+u\overrightarrow{d}$を位置ベクトルとする点$\mathrm{P}\text{．}$

【３】　関数$f(x)=\log (x+\sqrt{x^2-1})\text{（}x\geqq 1\text{）}$およびその逆関数$g(x)\text{（}x\geqq 0\text{）}$のグラフをそれぞれ$C_1\text{，}{C}_2$とする．

(1)　$C_1$上の点$(a,f(a))$における$C_1$の法線$l_1$と$C_2$上の点$(f(b),b))$における$C_2$の法線$l_2$とが平行であるとき，$a$を用いて$b$を表せ．

(2)　点$(g(1),1)$における$C_1$の法線$l$と曲線$C_1$および$x$軸とで囲まれる図形の面積を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$が$C_1$上を，点$\mathrm{Q}$が$C_2$上をそれぞれ動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を求めよ．