2000　信州大学　後期　理学部数学III,CMathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$x\sqrt{1+x^2}+\log (x+\sqrt{1+x^2})$を微分せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{e}^{\sin x}\sin 2xdx$を求めよ．

【２】　$k>1$とする．楕円$C:x^2+{\displaystyle \frac{y^2}{k}}=1$上の点で，点$\mathrm{A}(1,0)$からもっとも遠い点の一つを$\mathrm{P}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　弦$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

(2)　$k=3$のとき，楕円$C$で囲まれた図形を弦$\mathrm{AP}$で$2$つの図形に分割したとき，小さい方の図形の面積を求めよ．

【３】　単位行列$E$と異なる$2$次正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$について，$A^3=E$であるための必要十分条件は

$a+d=-1\text{，}ad-bc=1$

であることを示せ．

　ただし，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}$は実数とする．