2000　静岡大学　前期MathJax

【１】　$f(x)$は$x$の$2$次の整式とする．$f(x)$を$x-1$で割ると余りが$2$であり，さらにこのときの商を$x-2$で割ると商が$a\text{，}$余りが$4a$である．ただし，$a$は$0$でない実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を$a$を用いて表せ．

(2)　放物線$y=f(x)$の頂点$\mathrm{A}$の座標を$a$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{A}$が円${(x+1)}^2+{(y-1)}^2=1$の内部にあるとき，$a$の値の範囲を求めよ．

【２】　$a$を実数とする．関数$f(x)=2x^3-3(a+2)x^2+12ax$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$が極値をもたないように$a$の値を定めよ．

(2)　$f(x)$が極値をもつとき，極大値を$a$を用いて表せ．

(3)　$f(x)$の極大値が$32$となるとき，$a$の値を求めよ．

【３】　$x_n\text{，}$$y_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$は$x_n+i{y}_n={(1+i)}^n$を満たす実数とする．ただし，$i$は虚数単位である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x_{10}\text{，}$$y_{10}$を求めよ．

(2)　$y_n=0$となるとき，$n$の満たす条件を求めよ．

(3)　$y_n=0$となるような$x_n$を，はじめから順に$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}\cdots$とする．自然数$m$に対して，${\displaystyle \sum _{k=1}^m}{a}_k$を求めよ．

【４】　四角形$\mathrm{ABCD}$は，$\mathrm{AD}⫽\mathrm{BC}$かつ$\mathrm{BC}=k\mathrm{AD}$$\text{（}k>0\text{）}$である台形とする．辺$\mathrm{CD}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{F}\text{，}$線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{BF}$との交点を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$k\text{，}$$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AG}}=s\overrightarrow{\mathrm{AE}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BG}}=t\overrightarrow{\mathrm{BF}}$$\text{（}s\text{，}$$t$は実数）とおくとき，$s$と$t$をそれぞれ$k$を用いて表せ．

(3)　$2\mathrm{AB}=\mathrm{AD}\text{，}$$\mathrm{\angle BAD}=120\mathrm{°}$とする．$2\mathrm{AG}=\mathrm{BG}$となるとき，$k$の値を求めよ．

【２】　平面上に$\mathrm{▵ABC}$がある．実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は条件

(＊)　$a<0\text{，}$$b>0\text{，}$$c>0\text{，}$$a+b+c\ne 0$

を満たし，点$\mathrm{P}$は$a\overrightarrow{\mathrm{PA}}+b\overrightarrow{\mathrm{PB}}+c\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$を満たしている．また，辺$\mathrm{BC}$を$c:b$の比に内分する点を$\mathrm{D}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

(2)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$が条件(＊)を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の存在する範囲を図示せよ．

(3)　$a=-1\text{，}$$b=2\text{，}$$c=3$のとき，$\mathrm{▵ABD}$と$\mathrm{▵CDP}$の面積の比を求めよ．

【３】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & \sin \alpha \\ \cos \beta & \sin \beta \end{array}\right)$について，次の問いに答えよ．

(1)　$A$が逆行列をもたないとき，$\beta$を$\alpha$を用いて表せ．

(2)　$A^2=A$を満たす$A$をすべて求めよ．

【４】　関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^4-x^2+6& \text{（}\left|x\right|\leqq 1\text{）}\\ {\displaystyle \frac{12}{\left|x\right|+1}}& \text{（}\left|x\right|>1\text{）}\end{array}$

$g(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cos 2\pi x+{\displaystyle \frac{7}{2}}$$\text{（}\left|x\right|\leqq 2\text{）}$

で定義する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)\text{，}$$g(x)$の増減を調べ，$2$曲線$C_1\text{：}y=f(x)\text{，}$$C_2\text{：}y=g(x)$のグラフの概形を同じ座標平面上にかけ．

(2)　$C_1\text{，}$$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．